f(n)は階差数列として、 f(n)－f(n－1)＝n・2^(n－1) を満たすよう選びます そうすると、上を、nを1つづつずらしたものを足し合わせていくと、 (f(n)－f(n－1))＋(f(n－1)－f(n－2))＋… ＋(f(3)－f(2))＋(f(2)－f(1)) ＝n・2^(n－1)＋(n－1)・2^(n－2)＋… ＋3・2^2＋2・2^1 ＝S－1・2^0＝S－1 となります。 (f(n)－f(n－1))＋(f(n－1)－f(n－2))＋… ＋(f(3)－f(2))＋(f(2)－f(1)) ＝S－1 等式はこうなり、またこの左辺は各fが打ち消しあって、結局等式は、 f(n)－f(1)＝S－1 …(※) となります。つまり、f(n)が具体的に分かれば、Sは求まるわけです f(n)の形を予想します。 1番上の式の右辺に注目すると、2^(n－1)があります。 f(n)＝(適当な式1)・2^nとおくと、 f(n－1)は(適当な式2)・2^(n－1)となり、 f(n)－f(n－1)＝(適当な式)・2^(n－1) になり良さそうな感じです。 そして、適当な式の部分も、ふたつの式を引いた結果nの1次の式のみが残り、またn²などを含む2次以上の式の場合、どうやっても2次以上の項が残るので、これを消す方向に定数を定めることになるので、結局、(適当な式)はnの一次式でいい訳です。 適当な定数a,bを用いて、(適当な式)＝an＋bと置けば、 f(n)＝(an＋b)・2^n と仮置きできます。 後は解答のとおり、係数比較に持ち込み、 f(n)＝(n－1)・2^n と求めれば、 (※)に入れて、Sが得られます。