数学ができる方に質問です。 なんとなくで解くのは嫌です。ちゃんと、なぜそういう解き方、考え方をしたのかをしっかり理解したいです。考え方についての質問です。 おそらく、とてもしつこく読むのが苦かもしれませんが、どうか回答お願いします。 問:iを虚数単位とする。z^4 = -8+8√3i ・・・①を満たす複素数zを求めよ。 (解答) z = r(cos4 + isin4) (r>0 , 0≦θ<2Π) z^4 = r^4(cos4θ + isin4θ) よって、r^4(cos4θ + isin4θ) = -8 + 8√3i (①より) ⇔ r^4 = 16 かつ 4θ = 2/3Π + 2nΠ このとき、r>0より、r = 2 , 0≦θ<2Πより、θ = 1/6Π, 2/3Π, 7/6Π, 5/3Π あとは、このrとθの組み合わせをzの式に入れれば答えが求まるのですが、この際の頭の中での考え方について質問です。 自分の主な考え方は二パターンあります(まあ、やってることはもちろん同じですが) 一つ目、これは少し感覚的な考え方ですね。 z = r(cos4 + isin4) (r>0 , 0≦θ<2Π)と置いたとき、 z^4 = -8+8√3i ⇔ r = 2 かつ θ = 1/6Π, 2/3Π, 7/6Π, 5/3Π この、r,θをもとの式に入れると、そのzを4乗すると、確かにz^4 = -8+8√3iとなるので、z^4 = -8+8√3iとなるような、zはr = 2 かつ θ = 1/6Π, 2/3Π, 7/6Π, 5/3Πを入れたものだ。 二つ目 z = r(cos4 + isin4) (r>0 , 0≦θ<2Π)と置いたとき、 z^4 = -8+8√3i ⇔ r = 2 かつ θ = 1/6Π, 2/3Π, 7/6Π, 5/3Π これは、 z = r(cos4 + isin4) (r>0 , 0≦θ<2Π) かつ z^4 = -8₊8√3 ⇔ z = r(cos4 + isin4) (r>0 , 0≦θ<2Π) かつ r = 2 かつ θ = 1/6Π, 2/3Π, 7/6Π, 5/3Π と、言い換えられ、z = r(cos4 + isin4) (r>0 , 0≦θ<2Π)であり、z^4 = -8+8√3iであるときのことであり、さらにこれは z^4 = -8+8√3i ⇔ r = 2 かつ θ = 1/6Π, 2/3Π, 7/6Π, 5/3Πであるときのことだから、このようになるのは z = r(cos4 + isin4) (r>0 , 0≦θ<2Π) かつ r = 2 かつ θ = 1/6Π, 2/3Π, 7/6Π, 5/3Π のときであるから、このときzが答えとなる。 おそらく、私の考え方は遠回りでかなり非効率な考え方だと思うので、みなさんがどのようにして考えてるのかを知りたいです。また、ほかの考え方があるならそれも知りたいです。 回答お待ちしております。
高校数学