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高校数学 | 数学923閲覧

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回答(2件)

x^2 + y^2 = 4 接点(s, t)とすると、 s^2 + t^2 = 4であり、接線は sx + ty = 4 ⇔ y = -sx/t + 4/t これが円(x + 3)^2 + y^2 = 1 と接する。 (x + 3)^2 + (-sx/t + 4/t)^2 = 1 ⇔ (1 + s^2/t^2)x^2 + 2(3 - 4s/t^2)x + 9 + 16/t^2 = 1 判別式をDとすると D/4 = (3 - 4s/t^2)^2 - 8(1 + s^2/t^2)(1 + 2/t^2) = 0 ⇔ 9 - 24s/t^2 + 16s^2/t^4 - 8(1 + 2/t^2 + s^2/t^2 + 2s^2/t^4) = 0 ⇔ 1 - 24s/t^2 - 16/t^2 - 8s^2/t^2 = 0 ⇔ t^2 - 24s - 8s^2 - 16 = 0 ⇔ t^2 = 8s^2 + 24s + 16 これを s^2 + t^2 = 4 に代入して s^2 + 8s^2 + 24s + 16 = 4 9s^2 + 24s + 12 = 0 ⇔ 3s^2 + 8s + 4 = 0 ⇔ (3s + 2)(s + 2) = 0 ⇔ s = -2, -2/3 (s, t) = (-2, 0), (-2/3, ± 4√2/3) 求めたs, tをsx + ty = 4に代入して整理すると 求める接線は x = -2 y = √2x/2 + 3√2/2 y = -√2x/2 - 3√2/2

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円x²+y²=4上の点を(s,t)とする。 これより、s²+t²=4...① が得られる。 (s,t)における円との接線はsx+ty=4...②で、これがもうひとつの円と接するので 上式と(x+3)²+y²=1からyを消去したら、xに関する2次方程式が出てくる。(判別式)=0を計算して3s²+8s+4=0が出てくる(途中で①を使った)。ここから、(s,t)=(-2/3,±(4√2)/3),(-2,0)が出てくるので①からtも求めて②に代入すれば答えが出てきます。