wnj********

2024/11/27 14:57

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0≦x≦1, 0≦y≦1, 0≦z≦xyのとき、x,yの範囲より0≦z≦1としても大丈夫ですか？ 閉領域Ω＝{(x,y,z)| 0≦x≦1, 0≦y≦1, 0≦z≦xy}における

0≦x≦1, 0≦y≦1, 0≦z≦xyのとき、x,yの範囲より0≦z≦1としても大丈夫ですか？ 閉領域Ω＝{(x,y,z)| 0≦x≦1, 0≦y≦1, 0≦z≦xy}における ∫∫∫(x+y+z)dxdydzについて、正答は7/18ですが、 0≦z≦1として解くと3/2になってしまいます。 この考え方を上手く変えて行けるような考え方はありませんか？

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ベストアンサー

ロカサマスタスキノバヴァントゥ

2024/11/27 22:31（編集あり）

wnj********さん 2024/11/27 14:57 0≦x≦1, 0≦y≦1, 0≦z≦xyのとき x,yの範囲より0≦z≦1としても大丈夫？ ⇒ ダメ 重積分の理解が不十分なためカン違いされています 問題の数をこなしていくうちに、わかってきます Ω：0≦x≦1, 0≦y≦1, 0≦z≦xy ∭[Ω](x+y+z)dxdydz =∫[0,1]dx∫[0,1]dy∫[0,xy](x+y+z)dz 逐次積分つまりｚ→ｙ→ｘの順に積分。 まずｚから積分 =∫[0,1]dx∫[0,1]{(x+y)xy+(xy)²/2}dy =∫[0,1]dx∫[0,1]{x²y+(x+x²/2)y²}dy =∫[0,1]{x²/2+(x+x²/2)/3}dx =7/18 (参考) 仮に Ω が立方体領域なら Ω：0≦x≦1, 0≦y≦1, 0≦z≦1 対称性より ∭[Ω]xdxdydz=∭[Ω]ydxdydz=∭[Ω]zdxdydz ∭[Ω](x+y+z)dxdydz =3∭[Ω]xdxdydz =3∫[0,1]xdx∫[0,1]dy∫[0,1]dz =3･1/2･1･1 =3/2

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

ご回答ありがとうございました！ 変数が多くなるとイメージが複雑になってきて、初歩的な「なぜ」という「問」に納得できる「答」が見い出せずにいました。 ですが、イメージも添付して下さり明快に捉えることが出来ました！ ご丁寧にありがとうございました！

お礼日時：2024/12/2 0:29

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