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apple man

2024/11/24 14:13

22回答

この問題の解説をできるだけ詳しくお願いします

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数学 | 高校数学・73閲覧・xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">100

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回答（2件）

喜喜 shuangxi (双喜)

2024/11/24 19:56

apple manさん 2024/11/24 14:13 f(x)=x³+ax²+bx f´(x)=3x²+2ax+b 1) 「f(x)が極大値と極小値を持つ」 ⇔「f´(x)の符号が正から負、負から正へと計２回変わる」 ⇔ 「二次方程式 f´(x)＝0 が異なる二つの実数解を持つ」 ⇔ D₀=D/4=a²－3b>0 2) 解と係数の関係を使ってバカ正直に解くのも結構ですが… 有名な受験テクニックの一つ 「三次関数 極大値と極小値の差」で検索するとヒット 難関大を狙う受験生は知っておく必要あり f(4)=64+16a+4b=4 4a+b=－15 ① f´(x)=０ を解いて α=(－a－√D₀)/3 β＝(－a＋√D₀)/3 β－α=(2/3)√D₀ (極大値)－(極小値) =f(α)－f(β) =[f´(x)][β,α] =－3∫[α,β](x－α)(x－β)dx 放物線 y=f´(x) とx軸で囲まれた部分の面積。1/6公式を使うと =(1/2)(β－α)³ =(1/2){(2/3)√D₀}³ =４ {(2/3)√D₀}³＝8 (2/3)√D₀=2 D₀=a²－3b=9 ② ①②を解いて a=－6, b=9 https://www.wolframalpha.com/input?i=y%3Dx%C2%B3-6x%C2%B2%2B9x%2C+%E6%A5%B5%E5%A4%A7%E5%80%A4%E3%81%A8%E6%A5%B5%E5%B0%8F%E5%80%A4&lang=ja

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sxp********

2024/11/24 19:27

ｆ（ｘ）＝ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ① ①が極大、極小を持つためには、ｆ’（ｘ）＝０が二つの異なる解を持つこと ⇒ｆ’（ｘ）の判別式、Ｄ＞０であること。 ｆ’（ｘ）＝３ｘ²＋２ａｘ＋ｂ② ②の判別式（Ｄ）は、ｘの項が２ａなので Ｄ／４＝ａ²ー３ｂ＞０③ ｘ³の係数が正なので、極大値をもつときのｘ＝α、極小値をもつときのｘ＝βとする（α＜β）と、それぞれ①に代入して ｆ（α）ーｆ（β） ＝α³＋ａα²＋ｂαー（β³＋ａβ²＋ｂβ） ＝α³ーβ³＋ａ（α²ーβ²）＋ｂ（αーβ） ＝（αーβ）・（α²＋αβ＋β²）＋ａ（α－β）・（α＋β）＋ｂ（αーβ） ＝（αーβ）・｛α²＋αβ＋β²＋ａ（α＋β）＋ｂ｝ ＝（αーβ）・｛（α＋β）²ーαβ＋ａ（α＋β）＋ｂ｝④ ②において、ｆ’（ｘ）＝０とおいて、ｘを求めると ｘ＝｛－ａ±√（ａ²ー３ｂ）｝／３ これを、αとβに置き換えて αーβ＝｛ーａー√（ａ²ー３ｂ）｝／３ー｛－ａ＋√（ａ²ー３ｂ）｝／３ ＝ー２／３・√（ａ²ー３ｂ）⑤ ②において、解と係数の関係から α＋β＝ー２ａ／３⑥、αβ＝ｂ／３⑦ よって、④は、⑤、⑥、⑦を代入して ④＝ー２／３・√（ａ²ー３ｂ）・｛ー２ａ／３）²ーb/３ーａ（ー２ａ／３）＋ｂ｝ ＝ー２／３・√（ａ²ー３ｂ）・（４ａ²／９ー２ａ²／３ーｂ／３＋ｂ） ＝ー２／３・√（ａ²ー３ｂ）・（ー２ａ²／９＋２／３・ｂ） ＝２／３・√（ａ²ー３ｂ）・２／９・（ａ²ー３ｂ） ＝４／２７・（√（ａ²ー３ｂ）³⑧ ⑧＝４なので ４／２７・（√ａ²ー３ｂ）³＝４ （√ａ²ー３ｂ）³＝２７＝３³ √（ａ²ー３ｂ）＝３ ａ²ー３ｂ＝９⑨ ｆ（４）＝４ゆえ、①より ４³＋ａ・４²＋ｂ・４＝４ ４ｂ＝－１６ａー６０ ｂ＝ー４ａー１５➉ ➉を⑨に代入して ａ²ー３・（ー４ａー１５）＝９ ａ²＋１２ａ＋３６＝０ （ａ＋６）²＝０ ａ＝ー６⑪ ➉に代入して ｂ＝ー４・（ー６）ー１５ ＝９ よって、ａ＝ー６，ｂ＝９