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レモネード

2024/11/23 19:34

22回答

1階微分方程式 (du/dt)+3t^2u=3t^2 を解く問題です。 こちらはベルヌーイ型でしょうか？

1階微分方程式 (du/dt)+3t^2u=3t^2 を解く問題です。 こちらはベルヌーイ型でしょうか？ また、この問題は(a)と(b)にわかれていて(b)では一般解を求めればよいのですが、(a)は「v＝ue^Pとし、uを解としたとき、vがv‘=(3t^2)e^Pを満たすためにはPをどのように選べば良いかを答えよ」となっていてこれがイマイチわかりません。 解き方を教えて下さい。宜しくお願い致します。

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回答（2件）

沖田総司3

2024/11/24 9:36（編集あり）

(a) P＝t³ のとき、「v＝e^P ⇒ v'＝3t²P」 を、「v＝ue^P•••」と、その問題集は 書き間違いしているようです。 この問題は、「 (b) du/dt+3t²u＝3t² 積分因子 v＝e^(t³) を掛けると、 ⇔ (e^(t³)u)'＝e^(t³)3t² 積分すると、 ⇔ e^(t³)u＝e^(t³)+C ⇔ u＝1+Ce^(−t³) 答え、u＝1+Ce^(−t³) 」と成ります。 が、ベルヌーイの解法も、(他の問題で) 練習は、しておきましょう。 なお、ベルヌーイの解法など、置き替え法を「微分方程式のコツを教えてください！ https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14293673119」 の回答の中に、まとめてありますから、 ご参照いただけたら幸いです。

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mas********

カテゴリマスター

2024/11/23 20:17

いいえ。この形は標準形です。 定数変化法より まず同次解 u=ce^-∫3t^2dt c=vとして u=ve^-∫3t^2dt v'e^-∫3t^2dt-3t^2e^-∫3t^2dtv+3t^2e^-∫3t^2dtv=3t^2 v'e^-∫3t^2dt=3t^2 v'=3t^2e^∫3t^2dt より p=3t^2