● lim[n→∞]{(1 + 1/3^n)^n} = lim[n→∞]{((1 + 1/3^n)^(3^n))^(n/3^n)} = (lim[n→∞]{(1 + 1/3^n)^(3^n)})^lim[n→∞]{n/3^n} = (lim[m→∞]{(1 + 1/m)^m})^lim[n→∞]{n/3^n} 。 n≧2 のとき、n≦2^n より 0≦n/3^n≦2^n/3^n=(2/3)^n だから、 ● lim[n→∞]0 ≦ lim[n→∞]{n/3^n} ≦ lim[n→∞]{(2/3)^n} ⇔ 0 ≦ lim[n→∞]{n/3^n} ≦ 0 ⇔ lim[n→∞]{n/3^n} = 0 なので、 ● (lim[m→∞]{(1 + 1/m)^m})^lim[n→∞]{n/3^n} = e^0 = 1 。 なお、n≧2 のとき n≦2^n 、と言える理由を説明すると、 k=2 のとき 2^k≧k+1 であり、 2 以上のすべての整数 k で、 2^k≧k+1 なら 2^(k+1) = 2^k * 2 = 2^k + 2^k ≧ (k+1)+1 だから、 2 以上のすべての整数 k で、2^k≧k+1 。 2 以上のすべての整数 k で、 k≦n＜k+1 となる実数 n について 2^n≧2^k≧k+1≧n だから、 2 以上のすべての実数 n で、2^n≧n 。