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xは有理数である の否定を述べよ xが無理数である場合なのはわかりますがxが虚数である可能性はないのですか?

数学 | 高校数学26閲覧xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">25

回答(2件)

本当に問題文がそれしかないなら不備ってやつです。 一般に命題そのものは普遍集合のなかで議論されます。要するに初めから実数全体のような宇宙にあたる世界があり、その中で諸々の命題を考えます。命題の否定は集合論的には補集合に当たります。 ということでこの問題のド頭とかにその旨書いてないなら不備になります。 もしくはxは無理数であるという回答が間違っているかです。否定なら「xは有理数でない」が1番正しいです。普遍集合が定義されていたら有理数でないというのがもっと具体的になります。

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ちなみに他の方が言う空気を読むというのは相当数学に詳しくないと無理だと思います。(中途半端な知識でやると人によって色んな解釈になる気がします。) 有理数というのは通常実数の話…と書かれているのも厳密には間違いともみれます。(あくまで有理数を実数の世界に無理やり埋め込んでいるだけで有理数全体と実数全体は本質的には全くの別物です。) ただここら辺を理解するためには体論の知識や完備化とかを考える必要があるので空気を読むというのはかなり高度だということだけ知っておいてください。(つまり空気を読まないといけないものは問題として失格です。)

形式的に考えるのであれば、xが取りうる範囲によるとしか言いようがありません。ですから、前後の文脈も含めてxについて全くの制限がないのであればxにはおっしゃる通り虚数が入っても問題ありません。 しかしながら、同様の理屈でxに三角形や関数、空集合はもちろん、犬やら猫までも入れることができてしまいます。これでは、有意義な議論ができないでしょう。 ですから、文字が何を表すかを「察する」ことが必要になることがあります。今回の例であれば、まず数の議論をしているのでxが数のみを取りうることがわかります。加えて、有理数は実数の範囲での用語なので、xの範囲は実数全体としておくのが自然と考えられます。 もちろん、数学の正確さを保つために出題者がxの範囲を指定するのがマナーでしょう。しかし、高校数学の範囲であれば全員が数学を使うような方向に進むわけではないので、仕方のないことなのかもしれません。