k:代数閉体 A^n:k上のn次元アフィン空間(=k^n)にザリスキ位相を入れて位相空間とみなしたもの X⊂A^nがアフィン多様体といったらA^nの既約閉部分集合のこととします。 本題です。 X⊂A^n,Y⊂A^mをアフィン多様体とします。 集合の直積X×YをA^(n+m)の部分集合とみなして相対位相をいれます。このとき、X×Yが既約であることを示せ。 という問題の証明で、 『X×Yが二つの閉部分集合Z_1,Z_2で X×Y=Z_1∪Z_2 となっているとする。i=1,2に対して X_i={x∈X:x×Y⊂Z_i} とするとX=X_1∪X_2である。』 とヒントに従って進めていたのですが、この次が、X_1とX_2がどちらも閉であることを示したいです。しかしこれが思いつきません。 わかる方いましたらご教授ください。よろしくお願いいたします。
大学数学