複素関数についての質問です。 複素数上で定義され、複素数値を取る関数 f:C→C,f(x+yi)(x,yは実数) は、ある2変数実数値関数u(x,y)、v(x,y)を用いて、 f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i(x,yは任意の実数) と表せる事の証明は、以下で合ってますか？ φ:C→R^2,φ(x+yi)=(x,y) は全単射より、逆写像φ^(-1)が存在する。 g:=φofoφ^(-1):R^2→R^2 が存在する。 h1:R^2→R,h1(x,y)=x, h2:R^2→R,h2(x,y)=y が定義できる。 u:=h1og:R^2→R、v:=h2og:R^2→Rと写像を定義すると、任意の実数x,yに対して f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)iになる事を示す。 f(x+yi)=a+biとなる実数a,bが存在する。 g(x,y)=(φofoφ^(-1))(x,y) =φ(f(φ^(-1)(x,y)) =φ(f(x+yi)) =φ(a+bi) =(a,b) u(x,y)=(h1og)(x,y)=h1(g(x,y))=h1(a,b)=a, v(x,y)=(h2og)(x,y)=h2(g(x,y))=h2(a,b)=b だから、 f(x+yi)=a+bi=u(x,y)+v(x,y)i となる。 したがって、任意の実数x,yに対して f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i となる。 また、このような関数u,vの組みは一意である。もし、ある2変数実数値関数u',v'で、 f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i=u'(x,y)+v'(x,y)i となるとすると、 u(x,y)=h1(u(x,y),v(x,y))=h1(φ(f(x,y))) =h1(u'(x,y),v'(x,y))=u'(x,y), v(x,y)=h2(u(x,y),v(x,y))=h2(φ(f(x,y))) =h2(u'(x,y),v'(x,y))=v'(x,y) となる。
