1 毎年の初めにa円ずつ年利率4%、1年ごとの複利で10年間積み立てたときの複利が200万円となったとき Σ[1→10]{a*1.04^n} =Σ[1→10]{a*1.04*1.04^(n-1)} =a*1.04*(1-1.04^10)/(1-1.04) =a*1.04*(1.04^10-1)/(0.04) =a*1.04*(1.48-1)/(0.04) =a*1.04*(0.48)/(0.04) =a*1.04*12 =12.48 =200 a=200/12.48 ≒160256円 2 2^2+5^2+8^2+… =(3*1-1)^2+(3*2-1)^2+(3*3-1)^2+… の初項からn項までの和は Σ[1→n]{(3k-1)^2} =Σ[1→n]{9k^2-6k+1} =9*n(n+1)(2n+1)/6-6*n(n+1)/2+1*n =3*n(n+1)(2n+1)/2-6*n(n+1)/2+2n/2 =n/2*{3(n+1)(2n+1)-6(n+1)+2} =n/2*{3(2n^2+3n+1)-6(n+1)+2} =n/2*{6n^2+9n+3-6n-6+2} =n/2*{6n^2+9n-6n+3-6+2} =1/2*n(6n^2+3n-1) 3 Σ[1→ℓ]{Σ[1→n]k} =Σ[1→ℓ]{n(n+1)/2} =Σ[1→ℓ]{1/2*n^2+1/2*n} =1/2*ℓ(ℓ+1)(2ℓ+1)/6+1/2*ℓ(ℓ+1)/2 =(2ℓ+1)*ℓ(ℓ+1)/12+3*ℓ(ℓ+1)/12 ={(2ℓ+1)+3}*ℓ(ℓ+1)/12 =(2ℓ+4)*ℓ(ℓ+1)/12 =2(ℓ+2)*1/12*ℓ(ℓ+1) =1/6*ℓ(ℓ+1)(ℓ+2)