(tanx)'=1/cos²x これは解りますか？ もし解らないのであれば (tanx)'=(sinx/cosx)' =cosx/cosx+sinx*(-1)/cos²x*(-sinx) =1+sin²x/cos²x =(cos²x+sin²x)/cos²x =1/cos²x (1) y=tanx (0<=x<π/2) y'=1/cos²x (π/3,√3)における接線の傾きは 1/cos²(π/3) =1/(1/2)² =1/(1/4) =4 接線の方程式は y=4(x-π/3)+√3 =4x-4π/3+√3 接線とx軸の交点のx座標は 0=4x-4π/3+√3 4x=4π/3-√3 x=π/3-√3/4 S=∫[0,π/3-√3/4](tanx)dx+∫[π/3-√3/4,π/3](tanx-4x+4π/3-√3)dx としても良いが、計算が大変そう。 それよりは、 S=∫[0,π/3](tanx)dx-∫[π/3-√3/4,π/3](4x-4π/3+√3)dx としたほうが簡単そう。 そして、原点O(0,0)、A(π/3,√3)、B(π/3-√3/4,0)、C(π/3,0)、とすると ∫[π/3-√3/4,π/3](4x-4π/3+√3)dx、の部分は 底辺がAC=√3で高さがBC=√3/4の直角三角形の面積に等しいので S=∫[0,π/3](tanx)dx-√3*√3/4*1/2 =∫[0,π/3](tanx)dx-3/8 とすると、さらに簡単になる。 tanxを積分すると、-log|cosx|+C となる。 なぜこうなるのかは説明しません。教科書を見てください。 S=∫[0,π/3](tanx)dx-3/8 =[-log|cosx|][0,π/3]-3/8 =-log|cos(π/3)|+log|cos0|-3/8 =-log(1/2)+log1-3/8 =log2+0-3/8 =log2-3/8 (2) S=∫[0,π/3]tan²xdx-∫[π/3-√3/4,π/3](4x-4π/3+√3)²dx こちらもやはり、∫[π/3-√3/4,π/3](4x-4π/3+√3)²dx、の部分は 底面の半径が√3で高さがBC=√3/4の円錐の体積、に等しいので S=∫[0,π/3](tan²x)dx-π*(√3)²*√3/4*1/3 =∫[0,π/3](tan²x)dx-(√3/4)π tan²xを積分すると、tanx-x++C となる。 なぜこうなるのかは説明しません。教科書を見てください。 S=tan²(π/3)-tan²0-(√3/4)π =(√3)²-0²-(√3/4)π =3-(√3/4)π