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知恵袋ユーザー

2020/4/17 7:12

33回答

数2 対数 真数条件について

数2 対数 真数条件について 画像にある問題についてです。 真数条件って式を変形する前の初めに確認したものだけが適用されるのですか？ 式変形前に真数条件について確認すると確かにx>1です。 しかし式変形をすると画像にもある通り、x^2-1>0 より x<-1、1<x と全く別の条件がでてきてしまいます。 そう考えると答えが変わってしまうのですが、真数条件を確認するタイミングと、式変形後に真数条件に関して触れてはいけない理由をお聞きしたいです。

画像

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回答（3件）

235k

2020/4/21 13:20

最初に真数条件を書けば良い。後で変わることはない。 変わるのはあなたが最初に見落とししていたからです。 これに関連して log₂(x-1)(x+1)=2 ① log₂(x-1)+log₂(x+1)=2② ①は対数の定義より (x-1)(x+1)=2²>0 最初から真数は正なので真数条件入らない 即ち log[a]f(x)=bは f(x)=a^b>0 ②は個別に x>1,x>-1 x>1としなければならない。 この違いをしっかり覚える。

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got********

2020/4/18 11:27

log(1/3)(xー1)>log(3)(x+1)については、 ２つのlogそれぞれについて、真数条件が成り立たなければいけません。 そのため、xー1>0 かつ x+1>0 より、x>1 かつ x>ー1、 すなわち、x>1 でなければいけません。 この条件は解答が終わるまで有効です。変わりません。 なぜなら、解くべき問題は log(1/3)(xー1)>log(3)(x+1) だからです。 こうして、 x>1 という範囲の中だけで問題を考えていく、 この範囲外のことは考えなくてよい ということになります。 問題の不等式から変形を繰り返して log(3)(x²ー1)<log(3)1 という不等式にたどり着きます。 ここで確認しなければいけないことは、 問題の式から定まったxの値の範囲 x>1 の中で 左辺の真数部分がどうなっているか、正なのか負なのか、 ということです。 log(3)(x²ー1)についての真数条件は、 x²ー1>0 より (x+1)(xー1)>0、すなわち 「x<ー1 または x>1」 となります。 「x<ー1 または x>1」 ならば、log(3)(x²ー1)の値が定まる、 「ー1≦x≦1」 のときは x²ー1≦0 になるので log(3)(x²ー1)の値は定まらない ということです。 この問題で考えているxの範囲は x>1 です。 x>1 であれば log(3)(x²ー1) の値は定まることが分かりました。 （「x<ー1または x>1」ならば log(3)(x²ー1)の値が定まるので、 「x>1」のときは確かに定まっています。) したがって、これから先は x>1 の範囲で log(3)(x²ー1)<log(3)1 という不等式について考えていけばよい、 ということになるわけです。 それでは、問題が 「不等式 log(3)(x²ー1)<log(3)1 を解け。」 だったとしたらどうなるでしょうか。 これは最初の問題の解答の途中で出てきた不等式です。 そのときのxの範囲は log(1/3)(xー1)>log(3)(x+1) から定まる x>1 でした。 同じ不等式 log(3)(x²ー1)<log(3)1 でも、 これ自身が問題になっているときは、状況が変わってきます。 この不等式の左辺に関する真数条件は x²ー1>0、 すなわち 「x<ー1 または x>1」になります。 したがって、この問題では、 調べるxの範囲は x>1 ではなく 「x<ー1 または x>1」 になるのです。

zeta0208

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2020/4/17 7:21

まず、命題として提示されているものがあれば、それが条件となる。 真数条件に限らず よくある？のが 分母 が not zero の条件である。 特に明記がなくても 例えば 命題に y = x²/x とあれば 必然的に x≠0 が条件となり、その条件下において y = x とできる。 つまり変形した後ではなく、初期条件として最初からついている。 真数条件も同じです。