ベクトルで用いられる絶対値記号は「ベクトルの大きさ」を表しています。数字の「絶対値」と区別を強調するため、今後はベクトルの大きさといいます。 意味はその名の通り、ベクトルの矢印の長さを表しています。ですのでその長さを定規で測れば出てきますが、計算でも求めたいですよね。 数式上では |a|^2=a·a （以下ベクトルの矢印は省略） となります。 つまり、大きさは内積に戻せます。 そのため|p|^2-(2/3)(b+c)·p+(1/3|b+c|)^2=(1/3|b+c|)^2 という式の左辺は p·p-(2/3)(b+c)·p+(1/3(b+c))·(1/3(b+c)) と直せます。 すると (p-1/3(b+c))·(p-1/3(b+c)) を展開した形になっています。 これは |p-1/3(b+c)|^2 なので最後の行のようになります。 内積というのは、ベクトルにおける「掛け算のようなもの」です。なので式の形は絶対値記号がつくかつかないかを除くとほぼ同じ形になっています。 ですがあくまで掛け算の「ようなもの」ですので注意が必要です。 共通点と相違点を見比べて効率よく覚えましょう。 なにか質問があればお答えします。