知恵袋ユーザー

2018/10/20 21:17

22回答

数列{an}の初項から第n項までの和SnがSn=4n^3+6n^2-n(n≧1)で表されるとき、次の問いに答えなさい。 (1)数列{an}の一般項を求めなさい。

数列{an}の初項から第n項までの和SnがSn=4n^3+6n^2-n(n≧1)で表されるとき、次の問いに答えなさい。 (1)数列{an}の一般項を求めなさい。 (2)極限lim[n→∞]{(√an+1)-√an}を求めよ。 (3)Tn=∑[k=1～n]a2kを求めなさい。また、lim[n→∞]Tn/Snを求めなさい。 塾で配られた宿題なんですがよく分かりません。 分かりやすい説明をお願いします。

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高校数学 | 数学・1,755閲覧・xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">25

2人が共感しています

ベストアンサー

idl********

2018/10/20 21:52

(1) n≧2のとき、 a[n]=S[n]-S[n-1] =4n³+6n²-n-4(n-1)³-6(n-1)²+(n-1) =12n²-3 S[1]=a[1]=4+6-1=9だから、n=1でも成り立つ。 よって、a[n]=12n²-3 (2) a[n+1]=12n²+24n+9 √a[n+1]-√a[n] =√(12n²+24n+9)-√(12n²-3) =(24n+12)/{√(12n²+24n+9)+√(12n²-3)} ={24+(12/n)}/{√(12+(24/n)+(9/n²))+√(12-(3/n²))} なので、n→∞では 24/(√12+√12)=2√3 (3) Tn=Σ(48k²-3)=8n(n+1)(2n+1)-3(n+1) =(n+1)(4n+3)(4n-1) S[n]=n(4n-1)(n+1)だから T[n]/S[n]=(4n+3)/n=4+(3/n)なので n→∞で、T[n]/S[n]→4

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

とても分かりやすかったです。 ありがとうございました！

お礼日時：2018/10/20 22:13

その他の回答（1件）

数学マニア

2018/10/20 21:56

(1) n>=2のとき、 a[n]=S[n]-S[n-1] =12n^{2}-3 また、 n＝1のとき、a[1]=9, S[1]=4+6-1=9 なので、 任意の自然数nに対して、 a[n]=12n^{2}-3 となる。 (2) √a[n+1]-√a[n] =(a[n+1]-a[n])/(√a[n+1]+√a[n]) =(24n+12)/(√(12n^{2}+24n+9)+√(12n^{2}-3)) =(24+(12/n))/(√(12+24(1/n)+9(1/n^{2}))+√(12-(3/n^{2}))) したがって、 lim[n→∞]{√a[n+1]-√a[n]}=24/√12=2√3 (3) T[n]=∑[k=1～n]a[2k] =∑[k=1～n](12(2k)^{2}-3) =∑[k=1～n](48k^{2}-3) =n(16n^{2}+24n+5) T[n]/S[n] =n(16n^{2}+24n+5)/(4n^3+6n^2-n) =(16n^{2}+24n+5)/(4n^{2}+6n-1) =(16+24(1/n)+5(1/n^{2}))/(4+6(1/n)-(1/n^{2})) したがって、 lim[n→∞]T[n]/S[n]=16/4=4