サイコロ3つふって出た目をそれぞれ、a、b、cとする。このとき abc(a+b+c)が3の倍数になる確率はいくつでしょうか？
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https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10310289925
サイコロの目を3で割った余りによって３グループに分けます。 グループ①：余り1：1,4 グループ②：余り2：2,5 グループ⓪：余り0：3,6 そして、3つの目の合計が3の倍数になるのは、 3つの目のグループが以下の4通りの組合せの場合です。 ⓪+⓪+⓪ ①+①+① ②+②+② ⓪+①+② ただし、a,b,cのどれかがグループ⓪であれば、 abcが3の倍数になるので、 それ以外で(a+b+c)が3の倍数になるのは、 ①+①+①と②+②+②が該当します。 以上をふまえて、確率計算をすると、 ・a,b,cのどれかがグループ⓪の確率 どれもグループ⓪でない事象の余事象なので、1 - (4/6)³ ・a,b,cが、①,①,①または②,②,②の組合せの確率 ①,①,①の確率＝②,②,②の確率＝(2/6)³ よって、abc(a+b+c)が3の倍数になる確率は、以上を合計して、 1 - (4/6)³ + (2/6)³ x 2 = (19 + 2)/27 = 7/9
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abcまたはa+b+cの少なくとも一方が3の倍数であれば、条件を満たします。 1)abcが3の倍数のとき 2)a+b+cが3の倍数のとき の2つに分けて考えます。 1)abcが3の倍数のとき サイコロの目のうち、3の倍数であるものは3と6の二つです。 a、b、cのうち一つでも3と6のいずれかなら、条件を満たします。 この確率を直接求めるのは大変ですよね。 よって、余事象「a、b、cのいずれも3の倍数でない」確率を考えます。 余事象の起きる確率は (4/6)･(4/6)･(4/6)=(2/3)³=8/27 となりますね。 ゆえに、abcが3の倍数となる確率をp₁とすると、 p₁=1-8/27=19/27 となります。 2)a+b+cが3の倍数のとき まず初めに注意ですが、abcが3の倍数でない場合を考えます。 というのは、a+b+cが3の倍数のときの(a, b, c)の組を考えると、abcが3の倍数である組が必ず含まれます。 それらの組は、もしそのまま求めようとすると、重複して数えることとなってしまいます。 よって、a、b、cはいずれも3の倍数でないとします。 これを念頭に、条件を満たす(a, b, c)の組を求めるのですが、すべてを書き出そうとすると大変なので、3組を小さな順に並べた組をまず考えます。 その組は、 =(1, 1, 1), (1, 1, 4), (1, 4, 4), (2, 2, 2), (2, 2, 5), (2, 5, 5), (4, 4, 4), (5, 5, 5) の8通りです。 この各々について、a、b、cを割り当てれば良いですが、その順序は、 (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a) の6通りです。 これは、3!の値に等しいです。 よって、2)の条件を満たすサイコロの組は8×6=48通りとなります。 全てのサイコロの組は6³=216ですので、 a+b+cが3の倍数となる確率をp₂とすると、 p₂=48/216=2/9 となります。 1)と2)の場合は互いに排反な事象ですから、 求める確率はp₁+p₂となります。 ∴p₁+p₂ =(19/27)+(2/9) =(19+6)/27 =25/27 ということで、求める確率は25/27となるはずです。 間違っていたらすみません。
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