2^(n+1) = 2・2^n は、mod とは関係なく成立しますから説明しません。 この問題は『5を法として』という条件があるので、n が整数であれば、 3 ≡ (3+5n) が成立します。つまり、3≡-2 です。このことから、 3^n ≡ (-2)^n が成立します。(-2)^2 = 2^2 なので、これは、 3^n ≡ 2^n (nが偶数のとき) 3^n ≡ -(2^n) (nが奇数のとき) ということです。あとは 2^n の係数を足すだけです。