円周率を三角関数を使わずに手計算で求めることは出来ますか??
円周率を三角関数を使わずに手計算で求めることは出来ますか??
補足
暇つぶしに計算してみたいのです
ベストアンサー
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10307003825
● (32/ 10 - 32/ 10^3/3 + 32/ 10^5/5 - ‥) + (- 16/515 + 16/515^3/3 - 16/515^5/5 + ‥) + (- 4 /239 + 4 /239^3/3 - 4 /239^5/5 + ‥) 。 これが、計算が楽な割には収束が速い計算方法です。 足し引きを交互に繰り返す3つの塊のうち、32/10^n/n の塊だけ、 誤差が、他の2つの塊と同じ程度になるようにするために 沢山の項を足し引きしないといけないのですが、 この厄介な塊が、10^n で割るときは小数点をずらすだけでいいから、 実質的に必要な割り算が 3、5、7、‥ で割る割り算だけで済むのです。 どれくらい収束が速いか示すと、 ●(32/10-32/10^3/3+32/10^5/5-32/10^7/7+32/10^9/9-32/10^11/11)+ (- 16/515 + 16/515^3/3 - 16/515^5/5) + (- 4 /239 + 4 /239^3/3 - 4 /239^5/5) 。 程度の項の数で、 3.141592653589549‥ になります。本当の値が 3.141592653589793‥ ですから、小数点以下12桁まで合ってます。 ■ この式でπが求められる理由を説明すると、 A、B、C が、 tanA = 1/10、tanB = 1/515、tanC = 1/239 を満たす、 0＜A＜1/10、0＜B＜1/515、0＜C＜1/239 という範囲の数だとすると tan(8A-4B-C) = 1 (理由は後述)だから、 8A-4B-C = π/4 、なので、 32A-16B-4C = π 。 0≦θ≦π/4 のとき、tanθ=x となる θ は、 x - x^3/3 + x^5/5 - ‥ だから(理由は後述)、 32A= 32/10 - 32/10^3/3 + 32/10^5/5 - ‥ 、 16B= 16/515 - 16/515^3/3 + 16/515^5/5 - ‥ 、 4C = 4 /239 - 4 /239^3/3 + 4 /239^5/5 - ‥ 。 π = 32A-16B-4C だから、 π = (32/ 10 - 32/ 10^3/3 + 32/ 10^5/5 - ‥) + (- 16/515 + 16/515^3/3 - 16/515^5/5 + ‥) + (- 4 /239 + 4 /239^3/3 - 4 /239^5/5 + ‥) 。 それが理由です。 ■ tanA = 1/10、tanB = 1/515、tanC = 1/239 のとき、 tan(8A-4B-C) = 1 と言える理由は、 tan(2A) = 2(1/10)/(1 - (1/10)^2) = 20/99 、 tan(2A - B) = (20/99 - 1/515)/(1 + (20/99)(1/515)) = 1/5 、 tan(4A - 2B) = 2(1/5)/(1 - (1/5)^2) = 5/12 、 tan(8A - 4B) = 2(5/12)/(1 - (5/12)^2) = 120/119 、 tan(8A-4B-C) = (120/119 - 1/239)/(1 + (120/119)(1/239)) = (120*239 - 119)/(119*239 + 120) = (120*239 - 119)/(120*239 - 239 + 120) = 1 だからです。 ■ 0≦θ≦π/4 のとき、tanθ=x となる θ が、 x - x^3/3 + x^5/5 - ‥ 、と言える理由は... f(θ) = θ - (tanθ - (tanθ)^3/3 + (tanθ)^5/5 - ‥) とすると f'(θ) = 1 - (1 - (tanθ)^2 + (tanθ)^4 - ‥)(1/(cosθ)^2) = 1 - (1/{1 - (-(tanθ)^2)})(1/(cosθ)^2) (∵公比 -(tanθ)^2 の無限級数) = 1 - (1/{1 + (tanθ)^2})(1/(cosθ)^2) = 1 - 1 = 0 。 f(0)=0 、かつ、0≦θ≦π/4 のとき f'(θ)=0 だから、 0≦θ≦π/4 のとき f(θ)=0 なので、 θ - (tanθ - (tanθ)^3/3 + (tanθ)^5/5 - ‥) = 0 、すなわち、 θ = tanθ - (tanθ)^3/3 + (tanθ)^5/5 - ‥ 。 tanθ を x と表すと、 θ = x - x^3/3 + x^5/5 - ‥ 。 それが理由です。
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質問者からのお礼コメント
お三方ともありがとうございました!1番丁寧に説明していただけたように感じたため、BAとさせていただきます。
お礼日時：11/22 14:27
その他の回答（2件）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10307003825
手計算に最も適するのは、 pi=16*【(1/5)-(1/3)(1/5)^3+(1/5)(1/5)^5-...】 -4*【(1/239)-(1/3)(1/239)^3+(1/5)(1/239)^5-...】. です。 最初の【】の中は、 1/5 - 1/(3*5^3) + 1/(5^6) - 1/(7*5^7) + 1/(9*5^9) - 1/(11*5^11) + ... 二番目の【】の中は、 1/239 - 1/(3*239^3) + 1/(5*239^5) - 1/(7*239^7) + .. です。もし、円周率を小数点以下40けたまで正確に計算するのなら、 項数をそれぞれ、29項および、９項です。やってみてください。大きい紙が大量に必要です。 (実は「逆三角関数」を使っています。) ------------- ※これを用い、piを小数点以下707けたまで計算した人がいます。しかし残念なことに528桁目から間違っていたということです。(ずっとあとになり、ほんのわずかな時間でcomputerによりミスを発見しました) この公式でprogramし実行したところ、1万けたで約１秒でした。(10年前のPC)
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