結果、何をどうするにしてもそれが正解になるように行動するしかないんです。ただ、あなたは病気と言われてしまった。それはほっとけばいいものではないと思います。軸として、その病気をどうするか、を考えないといけないと思います。
一般的には心の病気は完治するものではないと言われています。しかし、環境を変えて努力すれば、完治したかのように振舞う事はできる、というのが私の認識です。
その寛解を目標にするとすれば、一連の事を親に隠すのは無理だと思います。父親がどんな人間であろうが、話すしかないと思います。それでどうなるかはまたその時に考える事じゃないかと。
単に学校行きたくないけど、親には言えない、だけだと親がお金を出してないなら、勝手に辞めればいいだけで親がお金を出している場合も行ってるフリだけしておく、でいいと思いますが、病気があるならまずはその治療と回復だともいます。それを親に隠してはできないでしょう。完全に独立できているなら、ごまかしてもいいとは思いますが。
あなたの状況であれば、親にちゃんと説明して、退学して時期を決めて回復に努力するか、働きながら回復を目指すか、親に相談です。回復できるまでは親の世話にならないと厳しいかもしれませんから。
退学しないで休学の道も卒業しなくても今後行くつもりが無くてもできない事ではありません。親をごまかす手段として利用はできます。ただ、あなたが目指すところは卒業たる時期までごまかすよりはその時期までに働けるようにとか、他の学校に通うでもいいし、とにかく社会に適合できるように回復する事になりますので、今のうちに全て親に告白して、どこまで協力してもらえるかを相談する事だと思いますよ。