2直線L,Mが交わるとき、その交点をＲとすると、 ＲはL上の点でもあり、M上の点でもあるわけです。 したがって、平面座標で考えれば、点Ｒの座標を (a,b)とすると、(a,b)はLの方程式もＭの方程式も 満たします。 例えば、Ｌ：ｙ＝２ｘ＋１ Ｍ：ｙ＝－Ｘ＋４ とすると、交点Ｒ(a,b)は b＝２a＋１かつb＝－a＋4を満たすわけで、 この連立方程式を解けば(a,b)＝(１,３)となり 交点Ｒの座標が求められることになります。 これをベクトルで考えてみましょう。 ベクトルOP=ベクトルOQとなる点P,Qが存在する ということはＰとＱが同じ点（前記のＲに該当する） を表わしていることを意味しています。 一方、ベクトルOPの成分（p1、p2)はL上の点ですから 平面座標で考えれたLの方程式を満たします。 同様に、ベクトルOＱの成分（q1、q2)はＭ上の点ですから 平面座標で考えれたＭの方程式を満たします。 前記の例で言えば、 p2＝２p1＋１ q2＝－q1＋４ ということです。 ここで、ベクトルOP=ベクトルOQとなる場合を考えると p1＝q1、p2＝q2 となるのですから、 p1＝q1＝a、p2＝q2＝bとおいた連立方程式 b＝２a＋１ b＝－a＋４ が解をもつことと同じことになるわけです。 なお、解をもたない不能の場合と不定の場合について、 ベクトルで考えてもわかりますか。 平面座標に置き換えて考えれば、わかると思います。 （位置ベクトルの起点Ｏを平面座標の原点Ｏと見れば ベクトルの成分表示と平面座標は事実上同じです）