极限：基本思想
某个函数f和x轴上的一点出发，该点称为a．需要理解的是：当x非常非常接近于a，但不等于a时，f（x）是什么样子的？
令f的定义域为R{2}（除2以外的所有实数），并设f（x）=x-1．
f（x）=x-1当x=2.
f（2）是无定义的．另一方面，当x非常非常接近于2的时候，我们可以找到一些f（x）的值，并看看将会有什么发生．例如，f（2.01）=1.01,f（1.999）=0.999．稍作思考，你会发现当x非常非常接近于2的时候，f（x）的值会非常非常接近于1.
只要令x充分地接近于2，那么你想多接近于1就能多接近于1，却又不是真的达到1．
当x趋于2,f（x）的极限等于1”．再次说明，这意味着，当x接近于2（但不等于2）时，f（x）的值接近于1．
假设有一个新的函数g，其图像如图
可被定义为分段函数：
这里的关键是，g（2）的值和该极限是不相关的！只有那些在x接近于2时的g（x）的值，而不是在2处的值，才是问题的关键．如果忽略x=2，函数g和之前的函数f就是完全相同的．因此，尽管g（2）=3，我们还是
左极限与右极限
就趋于极限的行为而言，h（3）=2实际上是无关紧要的．
如果你从图的左边向右走，那么当你的水平位置接近于3时，你所在高度就会接近于1．当然，当到达x =3时你会陡然坠落（更不用说那个古怪的小突起），但暂时我们不关心．这时任何在x=3右侧的值，包含x=3本身对应的值，都是无关紧要的．因此，就可以看到h（x）在x=3的左极限等于1.
另一方面，如果你从图的右边向左走，那么当你的水平位置接近于x =3时，你所在高度就会接近于-2．这就是说，h（x）在x=3的右极限等于-2．
如果左极限和右极限不相等，那么双侧极限不存在
什么情况不存在极限
当相应的左极限和右极限不相等时双侧极限不存在
当x从右侧滑向0时，它看起来并不接近于任何数；它就是变得越来越大了
会比你能想象到的任何数都大！我们说该极限是无穷大
这里的左极限是-∞，因为当x向0上升时，f（x）会变得越来越负
由于左极限和右极限不相等，故双侧极限显然不存在
此函数在x=0处的左极限和右极限都是∞
垂直渐近线的定义：
g（x）=sin（1/x）
由于sin（x）在x=π,2π,3π,…上的值全为0，因而sin（1/x）在1/x=π,2π,3π,…上的值全为0
当接近于0的时候，它们都挤在了一起．由于在每一个x轴截距之间，sin（x）向上走到1或向下走到-1
以上图像在x =0附近很杂乱．它无限地在1和-1之间振荡，当你从右侧向x=0处移动时，振荡会越来越快．这里没有垂直渐近线，也没有极限[插图]．当x从右侧趋于x=0时，该函数不趋于任何数．不存在极限
在∞和-∞处的极限
研究当变量x趋于∞时函数的行为
当x很大的时候，f（x）变得非常接近于值L，并保持这种接近的状态
像y=x2这样的函数没有任何水平渐近线，因为当x变得越来越大时，y值只会无限上升．
- 如果一个数的绝对值是非常大的数，则这个数是大的；
- 如果一个数非常接近于0（但不是真的等于0），则这个数是小的。
关于渐近线的两个常见误解
一个函数不一定要在左右两边有相同的水平渐近线
此函数在y=π/2处有一条右侧水平渐近线，在y=-π/2处有一条左侧水平渐近线，它们是不同的
一个函数的确可以有不同的右侧和左侧水平渐近线，但最多只能有两条水平渐近线（一条在右侧，另一条在左侧）．它也有可能一条都没有，或者只有一条．
y =2^x有一条左侧水平渐近线，但没有右侧水平渐近线
这和垂直渐近线相反：一个函数可以有很多条垂直渐近线
另外一个常见误解是，一个函数不可能和它的渐近线相交．或许你曾学到，渐近线是一条函数越来越接近但永远不会相交的直线．这并不正确，至少当你讨论的是水平渐近线时．
夹逼定理
如果一个函数f被夹在函数g和h之间，当x→a时，这两个函数g和h都收敛于同一个极限L，那么当x→a时，f也收敛于极限L.
假设对于所有的在a附近的x，我们都有g（x）≤f（x）≤h（x），即f（x）被夹在g（x）和h（x）之间．
假设g（x）、h（x）的趋于a的极限都是L那么f（x）趋于a的极限也是L
