1、概念
平衡二叉树：是一种二叉排序树，其中每一个节点的左子树和有字数的高度差之多等于1。
平衡因子BF(Balance Factor)：将二叉树上结点的左子树深度减去右子树深度的值。
最小不平衡子树：距离插入结点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的结点为根的子树。
2、作用
我们知道，对于一般的二叉搜索树（Binary Search Tree），其期望高度（即为一棵平衡树时）为log2n，其各操作的时间复杂度（O(log2n)）同时也由此而决定。但是，在某些极端的情况下（如在插入的序列是有序的时），二叉搜索树将退化成近似链或链，此时，其操作的时间复杂度将退化成线性的，即O(n)。我们可以通过随机化建立二叉搜索树来尽量的避免这种情况，但是在进行了多次的操作之后，由于在删除时，我们总是选择将待删除节点的后继代替它本身，这样就会造成总是右边的节点数目减少，以至于树向左偏沉。这同时也会造成树的平衡性受到破坏，提高它的操作的时间复杂度。
3、实现算法
/*二叉树的二叉链表结点结构定义*/
typedef struct BiTNode /*结点结构*/
{
int data; /*结点数据*/
int bf; /*结点的平衡因子*/
struct BiTNode * lchild,*rchild; /*左右孩子指针*/
}BiTNode,*BiTree
/*对以p为根的二叉排序树做右旋处理*/
/*处理后p指向鑫的树根结点，即旋转处理之前的左子树的根结点*/
void R_Rotate(BiTree *p)
{
BiTree L;
L=(*p)->lchild; /*Ｌ指向ｐ的左子树根结点*/
(*p)->lchild=L->rchild; /*L的右子树挂接为p的左子树*/
L->rchild=(*p);
*p=L; /*p指向新的根结点*/
}
/*对以p为根的二叉排序树做左旋处理*/
/*处理之后p指向新的根结点，即旋转处理之前的右子树的根结点0*/
void L_Rotate(BiTree *p)
{
BiTree R;
R=(*p)->rchild; /*R指向p的右子树根结点*/
(*p)->rchild=R->lchild; /*R的右子树挂接为p的右子树*/
R->lchild=(*p);
*p=R; /*p指向新的根结点*/
}
#define LH +1 /*左高*/
#define EH 0 /*等高*/
#define RH -1 /*右高*/
/*对以指针T所指结点为根的二叉树做左平衡旋转处理*/
/*本算法结束时，指针T指向新的根结点*/
void LeftBalance(BiTree *T)
{
BiTree L,Lr;
L=(*T)->lchild; /*L指向T的左子树根结点*/
switch(L->bf)
{
/*检查T的左子树的平衡度，并作相应平衡处理*/
case LH: /*新结点插入在T的左孩子的左子树上，要做单右旋处理*/
(*T)->bf=L->bf=EH;
R_Rotate(T);
break;
case RH: /*新结点插入在T的左孩子的右子树上，要做双旋转处理*/
Lr=L->rchild; /*Lr指向T的左孩子的右子树根*/
switch(Lr->br) /*修改T及其左孩子的平衡因子*/
{
case LH:
(*T)->bf=RH;
L->bf=EH;
break;
case EH:
(*T)->bf=L->bf=EH;
break;
case RH:
(*T)->bf=EH;
L->bf=LH;
break;
}
Lr->bf=EH;
L_Rotate(&(*T)->lchild); /*对T的左子树做左旋平衡处理*/
R_Rotate(T); /*对T做右旋平衡处理*/
}
}
#define LH +1 /*左高*/
#define EH 0 /*等高*/
#define RH -1 /*右高*/
/*对以指针T所指结点为根的二叉树做右平衡旋转处理*/
/*本算法结束时，指针T指向新的根结点*/
void RightBalance(BiTree *T)
{
BiTree L,Ll;
L=(*T)->rchild; /*L指向T的右子树根结点*/
switch(L->bf)
{
/*检查T的右子树的平衡度，并作相应平衡处理*/
case RH: /*新结点插入在T的右孩子的右子树上，要做单左旋处理*/
(*T)->bf=L->bf=EH;
L_Rotate(T);
break;
case LH: /*新结点插入在T的右孩子的左子树上，要做双旋转处理*/
Ll=L->lchild; /*Ll指向T的右孩子的左子树根*/
switch(Ll->br) /*修改T及其右孩子的平衡因子*/
{
case LH:
(*T)->bf=EH;
L->bf=RH;
break;
case EH:
(*T)->bf=L->bf=EH;
break;
case RH:
(*T)->bf=LH;
L->bf=EH;
break;
}
Ll->bf=EH;
R_Rotate(&(*T)->rchild); /*对T的右子树做右旋平衡处理*/
L_Rotate(T); /*对T做左旋平衡处理*/
}
}
/*若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点，则插入一个*/
/*数据元素为e的新结点并返回1，否则返回0.若因插入而使二叉排序树失去平衡，则做平衡旋转处理*/
/*布尔变量taller反应T长高与否*/
Status InsertAVL(BiTree *T,int e,Status *taller)
{
if(!*T) /*如果不存在T*/
{
/*插入新结点，树“长高”，置taller为TRUE*/
*T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
(*T)->data=e;
(*T)->lchild=(*T)->rchild=NULL;
(*T)->bf=EH;
*taller=TRUE;
}
else
{
if(e==(*T)->data)
{
/*树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入*/
*taller=FALSE;
return FALSE;
}
if(e<(*T)->data)
{
/*应继续在T的左子树中进行搜索*/
if(!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller)) /*未插入*/
return FALSE;
if(*taller) /*已插入到T的左子树中且左子树“长高”*/
{
switch((*T)->bf) /*检查T的平衡度*/
{
case LH: /*原本左子树比右子树高，需要做左平衡处理*/
LeftBalance(T);
*taller=FALSE;
break;
case EH: /*原本左右子树登高，现因左子树增高而树增高*/
(*T)->bf=LH;
*taller=TRUE;
break;
case RH: /*原本右子树比左子树高，现在左右子树等高*/
(*T)->bf=EH;
*taller=FALSE;
break;
}
}
}
else
{
/*应继续在T的右子树中进行搜索*/
if(!InsertAVL(&(*T)->rchild,e,taller)) /*未插入*/
return FALSE;
if(*taller) /*已插入到T的右子树且右子树“长高”*/
{
switch((*T)->bf) /*检查T的平衡度*/
{
case LH: /*原本左子树比右子树高，现左右子树登高*/
(*T)->bf=EH;
*taller=FALSE;
break;
case EH: /*原本左右子树登高，先因右子树增高而树增高*/
(*T)->bf=RH;
*taller=TRUE;
break;
case RH: /*原本右子树比左子树高，需要做右平衡处理*/
RightBalance(T);
*taller=FALSE;
break;
}
}
}
}
return TRUE;
}
