问题描述
给定正整数n,找出所有不同的写法使得n为整数1,3,4的和。
如:n=5时,不同的写法有6种。
5 = 1+1+1+1+1
= 1 + 1 + 3
= 1 + 3 + 1
= 3 + 1 + 1
= 1 + 4
= 4 + 1
问题分析
从初中开始我们就接触了函数的概念,所谓函数指的就是给定自变量x,根据某种映射规则进行运算后,会得到一个值y。
举个简单的例子来说明,y=2·x就是一种映射关系,如给定x=2,进行运算后可以得到y=2·2=4。
而上述提到的问题,就是某种映射关系,只不过这种映射关系,我们目前还不知道具体是什么,需要我们去探索去解决。
假设现在已经知道了这种映射关系,即给定任意的正整数x,可以有y种符合要求的写法,即f(x) = y。
而示例给出的正是f(5) = 6,表示的是给定正整数5,符合要求的写法有6种。
接下来考虑计算正整数n的写法,即f(n)。
设n的一种可能的写法为:n = x1+x2+···+xm
我们从xm这一项入手,考虑其有几种不同的写法,根据题意,xm可能的值为1,3,4,因为每一项只能出现1,3,4。
令xm = 1,则:
n = x1+x2+···+xm-1+ 1 (移项)
n-1 = x1+x2+···+xm-1
通过上面的计算得出,当xm=1时,要计算正整数n的写法,就转化为求正整数n-1的写法即f(n-1)种。
以此类推,令xm = 3,则:
n = x1+x2+···+xm-1 + 3
n-3 = x1+x2+···+xm-1
问题转化为求n-3的写法即f(n-3)种。
令xm = 4,则:
n = x1+x2+···+xm-1 + 4
n-4 = x1+x2+···+xm-1
问题转化为求n-4的写法即f(n-4)种。
因此我们将上面的三种写法综合起来即得到:f(n) = f(n-1) + f(n-3) + f(n-5)。即要想求得正整数n的写法,我们需要先指导n-1, n-3和n-5这三个整数的写法,然后求和即可。
总结
本文通过一个简单的案例,介绍了函数的基本思想,并将其应用到解决问题的思路中,帮助大家深入的理解函数。
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