累加求和 hive 累加求和∑上下标

大型运算符提示表达式的信息，或者表示对求值项进行某些操作。

$\sum$：求和符号

$\sum$是最经典的大型运算符。
$\sum$符号表示求和。可能会带有上标，下标。

$\sum$最基础的用法是这样：

这表示枚举整数i∈[1,n]，对求出所有a_i的和：

在一些格式（如Latex）中难以打出上标、下标，因此也可以写成右上标、右下标的格式：$\sum_{i=1}^n a_i$

这里的上标表示i<=n，而不是连续求值n项。

$\sum$可以有这些参数：

一般，下标指定了一个枚举下界，上标指定了一个枚举上界。

上下标都是可有可无的，但是必须要有求值项。有时候，下标足以表示枚举范围，就没有了上标。

比如这种情况：

又比如这种：

这表示对n的所有正约数求和。重复的约数只计算一次，例如：

4的约数有{1,4}，{2,2}两对，但是2只计算一次：

也就是说：

方括号是埃弗森括号，用法是[p]，p是一个命题。当命题为真是，艾弗森括号的值为1，否则为0.下标也可以不提示范围：

这往往表明在上下文中提及了求和范围，因此省略了。或者是表示对所有i∈f的定义域求和。下标也可以指出变量，之后再追加变量的范围：

为便于处理，通常使得一个$\sum$对应一个新指出的变量：

下标也可以表示一个命题，表示使得此命题为真的变量求值：

$\sum$也可以什么都不提示：

这个式子来自数论分块，由于l、r的含义较难用符号表达，因此直接不写。

事实上，$\sum$还可以直接引导一个集合：
$\sum\{a_1,b_4,c\}=a_1+b_4+k$

由$\sum$引导的式子称为和式。

$\prod$：连乘积

这个符号表示将a的[1,n]项都乘起来，有着与$\sum$类似的用法。

其他大型运算符

这里记录了一些其他大型运算符。
集合大型运算符：$\bigcap$ $\bigcup$
余积：$\amalg$
积分符号。

定义大型运算符：

大型运算符也可以自己定义。
定义的方法是，把原有符号写大，可以写上下标。

这样就表示从序列a的[l,r]区间中取最大值：

这样就表示求[1,n]异或和：

大型运算符的作用范围

一般来说，如果没有括号，大型运算符一直计算到式子末尾。如果有括号括住大型运算符，大型运算符计算括号内的所有东西。
例如：
$\sum_{i=1}^na_ib_i+f(i-1)+3+\prod_{j=1}^m c_j=\sum_{i=1}^n(a_ib_i+f(i-1)+3+\prod_{j=1}^m c_j)$
有括号只计算自己括号内的：
$(\sum_{i=1}a_i)+(\sum_{j=1}b_j)$
然而，有些时候为了简洁，如果能明确求和次序，那括号可以不写：
$(\sum_{i=1}a_i)+(\sum_{i=1}b_i^{c_i})=\sum_{i=1}a_i+\sum_{i=1}b_i^{c_i}$
这里变量i被声明了两次，显然左右两个和式是并列计算的关系，而不是嵌套计算。

另一些大型运算符

为了接下来的行文简洁，我们定义$\mathbb{I}$或表示循环记号。用法是：
$\overset{n}{\underset{i=1}{\mathbb{I}}}$来表示按照下标顺次展开元素，比如：
$\overset{n}{\underset{i=1}{\mathbb{I}}}\left\{\begin{matrix} a_i\cdot x_i =b_i \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a_1\cdot x_1=b_1\\ a_2\cdot x_2=b_2\\ ...\\ a_{n-1}\cdot x_{n-1}=b_{n-1}\\ a_n\cdot x_n=b_n \end{matrix}\right.$

又如：
$\overset{m}{\underset{i=1}{\mathbb{I}}}\left(_{m_i}^{n}\right) \Leftrightarrow \left(^{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;n}_{m_1,m_2,...,m_{m-1},m_m}\right)$

有时候有箭头表示展开方向：
$\overset{n}{\underset{i=1}{\mathbb{I}}}\left\{\begin{matrix} \downarrow a_i\cdot x_i =b_i \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a_1\cdot x_1=b_1\\ a_2\cdot x_2=b_2\\ ...\\ a_{n-1}\cdot x_{n-1}=b_{n-1}\\ a_n\cdot x_n=b_n \end{matrix}\right.$

$\overset{n}{\underset{i=1}{\mathbb{I}}}\left\{\begin{matrix} \uparrow a_i\cdot x_i =b_i \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a_n\cdot x_n=b_n\\ a_{n-1}\cdot x_{n-1}=b_{n-1}\\ ...\\ a_2\cdot x_2=b_2\\ a_1\cdot x_1=b_1 \end{matrix}\right.$

$\overset{m}{\underset{i=1}{\mathbb{I}}} \left(_{\underleftarrow{m_i}}^{n}\right) \Leftrightarrow \left(^{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;n}_{m_m,m_{m-1},...,m_2,m_1}\right)$

后记

于是皆大欢喜。