三、矩阵运算
（一）矩阵函数和特殊矩阵
- 常见的矩阵处理函数
- 表3-1 常见的矩阵函数
函数 | 说明 |
/或\ | 矩阵除法中的左除或右除，可以用于求解线性方程组 |
accumarray(ind,val) | 累加创建数组 |
A^n | 求解矩阵A的n次幂 |
balance(A) | 将矩阵A进行缩放以提高其特征值的精度 |
[V,D]=cdf2rdf(V,D) | 将复数对角矩阵转换为两个实数对角矩阵 |
chol(A) | 对矩阵A进行Cholesky因式分解 |
cholinc(A,DropTol) | 对矩阵A进行不完全的Cholesky因式分解，DropTol指定分解误差 |
cholinc(A,Options) | 对矩阵A进行不完全的Cholesky因式分解，Options为包含3个分量的结构体 |
cholupdate(R,X) | Cholesky因式分解的秩1升级 |
cond(A) | 利用奇异值分解求矩阵A的范数 |
condest(A) | 求矩阵A的范数1的条件数估计 |
[V,D,s]=condeig(A) | 求矩阵A与重特征值相对应的条件数 |
det(A) | 求矩阵的行列式 |
dmperm(A) | 求矩阵A进行Dulmage-Mendelsohn排列 |
eig(A) | 求矩阵A的特征值和特征向量 |
[V,D]=eig(A) | 求矩阵A的特征向量矩阵（V）和特征值对角矩阵（D） |
expm(A) | 矩阵指数函数 |
funm(A) | 矩阵通用函数 |
gsvd(A,B) | 求矩阵A的广义奇异值 |
[U,V,X,C,S]=gsvd(A) | 求矩阵A进行广义奇异值分解 |
hess(A) | 求矩阵A的Hessenburg标准型 |
inv(A) | 求矩阵A的逆 |
linsolve(A,y,options) | 快速求解方程组Ax=y，其中A的结构由options条件给定 |
logm(A) | 矩阵的对数运算 |
lscov(A,y,V) | 已知数据的协方差矩阵（V），求线性方程组的最小二乘解 |
lsqnonneg(A,y) | 求线性方程组的非负最小二乘解 |
[L,U,P]=lu(A) | 对矩阵A进行LU分解 |
minres(A,y) | 利用最小残差方法求线性方程组的解 |
norm(A,type) | 求矩阵或向量（由type指定）的范数 |
null(A) | 求A的零空间 |
orth(A) | 求A的正交空间 |
pinv(A) | 求A的伪逆矩阵 |
planerot(X) | 求X进行平面旋转 |
ploy(A) | 求A的特征多项式 |
polyeig(A0,A1,...) | 多项式的特征值解 |
polyvalm(A) | 求A的矩阵多项式 |
qr(A) | 对A进行正交三角分解 |
qrdelete(Q,R,J) | 从QR分解中删除行或列 |
qrinsert(Q,R,J,X) | 在QR分解中插入行或列 |
qz(A,B) | 广义特征值问题求解 |
rank(A) | 利用奇异值分解求A的秩 |
rcond(A) | 对A进行LAPACK倒数条件估计 |
rref(A) | 将矩阵A变换为行阶梯型 |
rsf2csf(A) | 将A由实块对角阵转换为复块对角阵 |
schur(A) | 对矩阵A进行Schur分解 |
sqrtm(A) | 求矩阵A的平方根 |
subspace(A,B) | 求两个子空间A和B之间的角度 |
svd(A) | 求矩阵A的奇异值 |
[U,S,V]=svd(A) | 对A进行奇异值分解 |
trace(A) | 求矩阵A的迹（即对角线元素之和） |
- 特殊矩阵
- 表3-2 特殊矩阵
矩阵 | 说明 |
[] | 空矩阵 |
blkdiag(a0,a1,...) | 以输入参数为对角元素生成对角矩阵 |
compan(P) | 求多项式的伴随矩阵 |
eye(r,c) | 产生r行，c列的单位矩阵 |
gallery | 生成一系列的测试矩阵（50个以上） |
hadamard(n) | 生成1个n阶的Hadamard矩阵 |
hankel(C) | 生成C的Hankel矩阵 |
hilb(n) | 生成n阶的Hilbert矩阵 |
invhilb(n) | 生成n阶的逆Hilbert矩阵 |
magic(n) | 生成n阶的魔幻矩阵 |
ones(r,c) | 生成r行、c列的全1矩阵 |
pascal(n) | 生成n阶的Pascal矩阵 |
rand(r,c) | 生成r行、c列的随机矩阵（元素值介于0和1之间） |
randn(r,c) | 生成r行、c列的零均值和单位方差的正态分布的随机矩阵 |
rosser | 典型的对称矩阵特征值问题测试 |
toeplitz(C,R) | 生成Toeplitz矩阵 |
vander(C) | 生成Vandermonde矩阵 |
wilkinson(n) | 生成n阶的Wilkinson特征值测试矩阵 |
zeros(r,c) | 生成r行、c列的全0矩阵 |
- 稀疏矩阵
- 稀疏矩阵中大部分元素都是0，只有少部分元素是非0的。
- 一般，MATLAB存储稀疏矩阵需要通过3个矩阵，对于一个m×n的矩阵（假设其中有nz个非0元素，存储在长度为nz_max的矩阵中）
- 第一个矩阵：存储所有非0元素，矩阵长度为nz_max
- 第二个矩阵：存储所有非0元素的行下标，矩阵长度也为nz_max
- 第三个矩阵：存储每一列开始处的指针和标志这3个矩阵结束的指针，存储长度为n+1
- 创建稀疏矩阵
- sparse(i,j,s,m,n,nz_max)使用[i,j,s]来创建m×n维稀疏矩阵s（s为所有非0元素构成的向量，ij为非0元素的行下标、列下标）
- spdiags(B,d,m,n)可以抽取、创建或替代对角稀疏矩阵（d表示长度为p的整数向量，B为满矩阵）
- 表3-3 稀疏矩阵函数
函数 | 说明 |
bicg | 求解双共轭梯度迭代线性方程的解 |
bicgstab | 求解双共轭梯度稳定迭代线性方程的解 |
cgs | 求解二次共轭梯度迭代线性方程曾的解 |
cholinc | 不完全Cholesky分解 |
colamd | 列估计最小度重排序方法 |
colamdtree | 带列消元树排序后的colamd方法 |
colmmd | 列最小度排序 |
colperm | 对列进行随机排序 |
condest | 1范数估计 |
dmperm | Dulmage-Nebdeksohn重排序方法 |
eigs | 使用APPACK的特征值 |
etree | 矩阵消元树结构 |
etreeplot | 绘制消元路径 |
find | 寻找非0元素索引 |
full | 将稀疏矩阵转化为完整矩阵 |
gmres | 求广义最小残差迭代线性方程的解 |
gplot | 绘制图论图形 |
issparse | 判断是否为稀疏矩阵 |
lsqr | 标准方程中共轭梯度的LSQR实现 |
luinc | 不完全LU因式分解 |
minres | 最小残差迭代线性方程求解 |
Nnz | 求矩阵中的非0元素个数 |
nonzeros | 提取矩阵中的非0元素 |
normest | 矩阵的2范数估计 |
nzmax | 求分配给非0元素的存储空间 |
pcg | 求预处理共轭梯度迭代线性方程组的解 |
qmr | 伪最小残差迭代线性方程组解法 |
randperm | 产生随机排列的数组 |
spalloc | 为稀疏矩阵分配内存空间 |
sparse | 创建稀疏矩阵 |
spaugment | 建立最小二乘增广矩阵 |
spconvert | 从外部格式中载入稀疏矩阵 |
sodiags | 利用对角元素生成稀疏矩阵 |
speye | 单位稀疏矩阵 |
spfun | 将一个函数应用于非0元素 |
spones | 将所有非0元素用1代替 |
spparms | 设置稀疏矩阵程序的参数 |
sprand | 创建均匀分布的随机稀疏矩阵 |
sprandn | 创建高斯分布的随机稀疏矩阵 |
sprandsym | 创建对称的随机稀疏矩阵 |
sprank | 求结构秩的值 |
spy | 稀疏矩阵的图形表示 |
svds | 产生一些奇异值 |
symbfact | 符合因式分解 |
symamd | 对称估计最小阶次重排序法 |
symamdtree | 带对称消元树排序后的symand |
symmd | 对称最小阶次重排序 |
symmlq | 对称LQ迭代线性方程的求解 |
symrcm | 对称的反向Cuthill-Mckee重排序 |
treelayout | 变换成树状结构 |
treeplot | 画出树状图 |
- 创建稀疏矩阵并画出稀疏矩阵的图（e_three_1.m）
（二）矩阵分析
- 范数分析
- 向量的范数
- 线性空间中的某个向量$\textbf{x}=\left \{ x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n} \right \}$，其p范数定义为：$\left \| \mathbf{x} \right \|_{p}=\left ( \sum_{i=1}^{n}\left | x_{i}\right |^{p}\right )^{\frac{1}{p}}$
