全排列（Perm）的递归实现算法

 

什么是全排列】

从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当m=n时所有的排列情况叫全排列。用123来示例下，123的全排列有123、132、213、231、312、321这六种。

【题目】

设计一个递归算法生成n个元素{r1,r2,…,rn}的全排列。

【算法讲解】

设R={r1,r2,…,rn}是要进行排列的n个元素，Ri=R-{ri}。
集合X中元素的全排列记为perm(X)。
(ri)perm(X)表示在全排列perm(X)的每一个排列前加上前缀得到的排列。
R的全排列可归纳定义如下： 
当n=1时，perm(R)=(r)，其中r是集合R中唯一的元素；
当n>1时，perm(R)由(r1)perm(R1)，(r2)perm(R2)，…，(rn)perm(Rn)构成。
实现思想：将整组数中的所有的数分别与第一个数交换，这样就总是在处理后n-1个数的全排列。

【示例】

当n=3，并且E={a，b，c}，则：
perm(E)=a.perm({b,c}) + b.perm({a,c}) + c.perm({a,b})
perm({b,c})=b.perm(c) + c.perm(b)
a.perm({b,c})=ab.perm(c) + ac.perm(b)=ab.c + ac.b=(abc, acb）

 

【递归实现】

123的全排列有123、132、213、231、312、321这六种。首先考虑123、213和321这三个数是如何得出的，是1与自身、2、3交换得到的；然后考虑123与132、213与231、312与321是如何得出的，即时第一个数字不变，第二个数和每三个数交换得到。找到这个规律后，递归的代码就很容易写出来了。

【c++代码实现】

 

1. 1. #include<iostream>
   2. #include<algorithm>
   3.  
   4. using namespace std;
   5.  
   6. template<class Type>
   7. void Perm(Type list[], int k, int m)
   8. { //产生[list[k:m]的所有排列
   9. if (k == m)
   10. {  //只剩下一个元素
   11. for (int i = 0; i <= m; i++)
   12. cout << list[i];
   13. cout << endl;
   14. }
   15. else  //还有多个元素待排列，递归产生排列
   16. for (int i = k; i <= m; i++)
   17. {
   18. swap(list[k], list[i]);
   19. Perm(list, k + 1, m);
   20. swap(list[k], list[i]);
   21. }
   22. }
   23.  
   24. int main()
   25. {
   26. char s[] = "abcd";
   27. Perm(s, 0, 3);
   28.  
   29. system("pause");
   30. return 0;
   31. }