【问题】
已知实数a,b，b在(0,1)区间，a-b=1,则1/(a-1)+1/(5-4b)的最小值是？
【来源】
《解题卡壳怎么办 高中数学解题智慧点剖析》P34 余继光 苏德矿合著 浙江大学出版社出版
【破题点】
将a-1用b取代，发现结果是二次式相除，正好可用判别式法。
【解答】
由a-b=1得到a-1=b
于是原式=1/b+1/(5-4b)
设b为x,结果为y，得到表达式y=(5-3x)/(5x-4x^2)
展开后得到4yx^2-(5y+3)x+5=0
上式的Δ=(5y+3)^2-4*4y*5=25y^2-50y+9>=0
继而得到(5y-1)(5y-9)>=0
最后得到y<=0.2 或y>=1.8
故1.8为y的最小值.
将1.8=(5-3x)/(5x-4x^2) 展开后得(6x-5)^2=0,x=5/6,正好在(0,1)区间内。
故b=5/6≈0.83时，1/(a-1)+1/(5-4b)的最小值是1.8.
【函数图像】
用Canvas勾画函数y=(5-3x)/(5x-4x^2)得图线如下图：
由上图可见，在(0,1)区间，y取到最小值1.8；在（1.25，+∞）区间，y取到最大值0.2，这与前面计算得到的两个极值是相符的，实际图像和理论计算可以相互印证。
【绘制图像的Canvas代码】
<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head>
<title>UNASSIGNED</title>
<style type="text/css">
.centerlize{
margin:0 auto;
border:0px solid red;
width:1200px;height:600px;
}
</style>
</head>
<body onload="draw();">
<div class="centerlize">
<canvas id="myCanvas" width="10px" height="10px" style="border:1px dashed black;">
如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试.
</canvas>
</div>
</body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 将全体代码拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，另存为.html文件，
* 再用chrome浏览器打开，就能看到动画效果。
******************************************************************/
// 系统常量定义处
const TITLE="f(x)=(5-3x)/(5x-4x^2)的图像 "; // 图像标题
const WIDTH=1200; // 画布宽度
const HEIGHT=600; // 画布高度
const SCALE_UNIT=25; // 缩放比例 25对应x∈[-24,24],100对应x∈[-6,6]
// 系统变量定义处
var context=0; // 画布环境
var stage; // 舞台对象
var timeElapsed=0; // 动画运作的的时间
const TIME_END=100000; // 动画运作的期限
//-------------------------------
// Canvas开始运作，由body_onload调用
//-------------------------------
function draw(){
document.title=TITLE;
// 画图前初始化
var canvas=document.getElementById('myCanvas');
canvas.width=WIDTH;
canvas.height=HEIGHT;
context=canvas.getContext('2d');
// 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换
// 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向
// 处置完毕后，原点移动到画布中央，向右为X正向，向上为Y的正向
context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);
context.rotate(Math.PI);
context.scale(-1,1);
// 初始化舞台
stage=new Stage();
// 开始动画
animate();
};
//-------------------------------
// 画图
//-------------------------------
function animate(){
timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1
stage.update(timeElapsed);
stage.paintBg(context);
stage.paint(context);
if(timeElapsed<TIME_END){
window.requestAnimationFrame(animate);
}
}
//-------------------------------
// 舞台对象定义处
//-------------------------------
function Stage(){
// 内置对象(非必要勿更改)
var obj=new Object;
// 对象下的曲线数组(非必要勿更改)
obj.curves=[];
// 塞入曲线1(按需修改设定项)
obj.curves.push({
name:"曲线:f(x)=(5-3x)/(5x-4x^2)",
xEnd:24,
x:-24,
y:0,
setY:function(x){
this.y=(5-3*x)/(5*x-4*x*x);// 解析式
let coord={"x":x,"y":this.y};
if(x<0){
this.pts0.push(coord);
}else if(0<x && x<1.25){
this.pts1.push(coord);
}else{
this.pts2.push(coord);
}
},
"pts0":[],
"pts1":[],
"pts2":[],
});
// 随时间更新位置(非必要勿更改)
obj.update=function(t){
for(var i=0;i<this.curves.length;i++){
var curve=this.curves[i];
if(curve.x<curve.xEnd){
curve.x+=0.01;
curve.setY(curve.x);
}
}
};
// 画前景
obj.paint=function(ctx){
// 手动标记点
//paintPoint(ctx,0,0,"min","navy");
//paintPoint(ctx,0.2,1/25,"max","navy");
// 文字左上角位置(可手动修改设定值)
const X_START=-230; // 文字横起点
const Y_START=150; // 文字纵起点
const OFFSET=50; // 文字间隔
// 遍历曲线数组(非必要勿更改)
for(var i=0;i<this.curves.length;i++){
var curve=this.curves[i];
var color=getColor(i);
// 曲线名称
drawText(ctx,curve.name,X_START,Y_START-i*OFFSET,color,18);
// 曲线当前点坐标
drawText(ctx,"当前 X:"+curve.x.toFixed(3)+" Y:"+curve.y.toFixed(3),X_START,Y_START-20-(i)*OFFSET,color,18);
// 绘制曲线
if(curve.pts0){
paintCurve(ctx,color,curve.pts0);
// 绘制曲线分段1的高低点(可选)
//var mm=findMaxMin(curve.pts0);
//markMaxMin(ctx,mm,color);
}
if(curve.pts1){
paintCurve(ctx,color,curve.pts1);
// 绘制曲线分段2的高低点(可选)
var mm=findMaxMin(curve.pts1);
markMaxMin(ctx,mm,color);
}
if(curve.pts2){
paintCurve(ctx,color,curve.pts2);
// 绘制曲线分段3的高低点(可选)
var mm=findMaxMin(curve.pts2);
markMaxMin(ctx,mm,color);
}
if(curve.pts3){
paintCurve(ctx,color,curve.pts3);
// 绘制曲线分段4的高低点(可选)
//var mm=findMaxMin(curve.pts3);
//markMaxMin(ctx,mm,color);
}
if(curve.pts4){
paintCurve(ctx,color,curve.pts4);
// 绘制曲线分段4的高低点(可选)
//var mm=findMaxMin(curve.pts3);
//markMaxMin(ctx,mm,color);
}
}
};
// 画背景(非必要不更改)
obj.paintBg=function(ctx){
// 清屏
ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);
ctx.fillStyle="rgb(251,255,253)";
ctx.fillRect(-600,-300,1200,600);
// 画X轴
drawAxisX(ctx,-600,600,50);
// 画Y轴
drawAxisY(ctx,-300,300,50);
// 画网格线
drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50);
// 左上角标题
var metrics = ctx.measureText(TITLE);
var textWidth = metrics.width;
drawText(ctx,TITLE,-WIDTH/2+textWidth+3,HEIGHT/2-30,"grey",18);
// 右下角作者，日期
const waterMarkTxt="逆火原创@"+(new Date()).toLocaleDateString();
metrics = ctx.measureText(waterMarkTxt);
textWidth = metrics.width;
drawText(ctx,waterMarkTxt,WIDTH/2-textWidth,-HEIGHT/2,"lightGrey",16);
};
return obj;
}
// 描绘并标识一个点
function paintPoint(ctx,x,y,text,color){
var xReal=x*SCALE_UNIT;
var yReal=y*SCALE_UNIT;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.lineWidth=0.5;
// 划线
ctx.save();
ctx.setLineDash([5,5]);
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(xReal,0);
ctx.lineTo(xReal,yReal);
ctx.lineTo(0,yReal);
ctx.stroke();
ctx.restore();
// 画圈
ctx.beginPath();
ctx.arc(xReal,yReal,4,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
// 写文字
var metrics = ctx.measureText(text);
var textWidth = metrics.width;
drawText(ctx,text,xReal+textWidth+2,yReal-5,color,12);
}
// 连点成线画曲线
function paintCurve(ctx,color,cds){
ctx.save();
ctx.strokeStyle = color;
ctx.lineWidth=1;
ctx.beginPath();
for(var i=0; i<cds.length; i++){
let y=cds[i].y;
if(Math.abs(cds[i].y*SCALE_UNIT)<300){
ctx.lineTo(cds[i].x*SCALE_UNIT,cds[i].y*SCALE_UNIT);
}
}
ctx.stroke();
ctx.restore();
}
// 找到坐标数组的最大最小值
function findMaxMin(cds){
if(cds.length<1){
return null;
}
var retval={max:-10000,max_x:0,min:10000,min_x:0};
for(var i=0;i<cds.length;i++){
var y=cds[i].y;
if(y>retval.max){
retval.max=y;
retval.max_x=cds[i].x;
}
if(y<retval.min){
retval.min=y;
retval.min_x=cds[i].x;
}
}
return retval;
}
// 绘出最大最小值
function markMaxMin(ctx,mm,color){
if(mm==null){
return;
}
// 最大值
var x=mm.max_x;
var y=mm.max;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.beginPath();
ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
var text="max@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);
// 最小值
var x=mm.min_x;
var y=mm.min;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.beginPath();
ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.stroke();
var text="min@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);
}
// 定点画实心圆
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){
ctx.save();
ctx.beginPath();
ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);
ctx.fillStyle=color;
ctx.fill();
ctx.restore();
}
// 两点之间画线段
function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){
ctx.save();
ctx.lineWidth=0.25;
ctx.strokeStyle=color;
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x1,y1);
ctx.lineTo(x2,y2);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
ctx.restore();
}
// 画横轴
function drawAxisX(ctx,start,end,step){
const AXISY_COLOR="black";
ctx.save();
ctx.lineWidth=0.5;
ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;
// 画轴
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(start, 0);
ctx.lineTo(end, 0);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
// 画箭头
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10);
ctx.lineTo(end, 0);
ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
// 画刻度
var x,y;
y=5;
for(x=start;x<end;x+=step){
if(x==0){
continue;
}
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x, 0);
ctx.lineTo(x, y);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
var text=formatScale(x/SCALE_UNIT);
drawText(ctx,text,x,y-20,AXISY_COLOR,12);
}
ctx.restore();
}
// 画纵轴
function drawAxisY(ctx,start,end,step){
const AXISY_COLOR="black";
ctx.save();
ctx.lineWidth=0.5;
ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;
// 画轴
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(0, start);
ctx.lineTo(0, end);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
// 画箭头
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
ctx.lineTo(0, end);
ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
// 画刻度
var x,y;
x=5;
for(y=start;y<end;y+=step){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x, y);
ctx.lineTo(0, y);
var text=formatScale(y/SCALE_UNIT);
var metrics = ctx.measureText(text);
var textWidth = metrics.width;
drawText(ctx,text,x-textWidth-5,y,AXISY_COLOR,12);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
}
ctx.restore();
}
//-------------------------------
// 得到整型后的刻度
//-------------------------------
function formatScale(scale){
var s=scale*10;
if(s % 5==0){
return scale+"";
}else{
return scale.toFixed(2);
}
}
// 画网格线
function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2){
ctx.save();
ctx.lineWidth=0.25;
ctx.strokeStyle="lightgrey";
// 分十格
var x,y;
for(x=x1;x<x2;x+=step1/10){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x, y1);
ctx.lineTo(x, y2);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
}
for(y=y1;y<y2;y+=step2/10){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x1, y);
ctx.lineTo(x2, y);
ctx.stroke();
ctx.closePath();
}
// 十小格间的分割线
ctx.lineWidth=0.25;
ctx.strokeStyle="grey";
ctx.setLineDash([5,5]);// 设置虚线,起止点间包含五空格五划线共十段
for(x=x1;x<x2;x+=step1){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x, y1);
ctx.lineTo(x, y2);
ctx.stroke();
}
for(y=y1;y<y2;y+=step2){
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(x1, y);
ctx.lineTo(x2, y);
ctx.stroke();
}
ctx.restore();
}
//-------------------------------
// 角度得到弧度
//-------------------------------
function getRad(degree){
return degree/180*Math.PI;
}
//-------------------------------
// 得到颜色
//-------------------------------
function getColor(index){
var arr=[
"maroon" /* maroon 棕色*/,
"orange" /* orange 橙色*/,
"blue" /* blue蓝色*/,
"green" /* green 绿色*/,
"fuchsia"/* fuchsia 紫红*/,
"grey" /* grey 草木灰*/,
"lime" /* lime 亮绿色*/,
"navy" /* navy 海军蓝*/,
"purple" /* purple 紫色*/,
"skyblue"/* skyblue 天蓝*/,
"teal" /* teal 蓝绿色*/,
"yellow" /* yellow 亮黄*/,
"aqua" /* aqua湖绿色*/,
"red" /* red 大红*/,
"#88815d"/* 雪松*/,
"#4f876c"/* 伊甸园绿*/,
"#97572b"/* 皮革褐*/,
"#b79777"/* 卡其*/,
"#d7ccb6"/* 象牙白*/,
"#414142"/* 木炭艺术*/,
"#764136"/* 焦棕*/,
"#46515a"/* 深板岩*/,
"#3c281e"/* 巧克力*/,
"#681414"/* 铁锈红*/,
"black" /* black黑色*/,
];
return arr[index % arr.length];
}
//-------------------------------------
// 绘制文字,指定颜色
// ctx:绘图环境
// text:文字
// x,y:坐标
// color:颜色
// size:字体大小
//-------------------------------------
function drawText(ctx,text,x,y,color,size){
ctx.save();
ctx.translate(x,y)
ctx.rotate(getRad(180))
ctx.scale(-1,1)
ctx.textBaseline="bottom";
ctx.textAlign="center";
ctx.fillStyle=color;
ctx.font = size+"px consolas";
ctx.fillText(text,0,0);
ctx.restore();
}
// JS开立方
function kaiLiFang(x){
if(x>0){
return Math.pow(x,1/3);
}else{
return -Math.pow(-x,1/3);
}
}
//-->
/****************************************
《人生八句宽心话》
第一句:
来时，干干净净，去时，两手空空。既然生死之时，都没有附属物。又何必把钱财物质看重？轻松生活，快乐度日，才是此生最好的收获。
第二句：
对的人，永远都在你身边。无论时光怎么变迁，无论你遭遇了何事，轻易离开我们的，其实都是错的人，不是三观不合，就是道路不同，不用过于放在心里，对的人，其实一直都在！
第三句：
开心，是最好的活法！人这一生，其实贵在开心，很多东西，生不带来死不带去，唯有我们开心的活着，珍惜身边的人，过好每一天，才算是不负人生，不负自己！
第四句：
逆境，只有一种作用，那就是淬炼你！
千锤百炼，不断打磨，才能遇见更好的你。所以，当我们面对逆境，不要抱怨，从容前行，放平心态，相信一切都会熬过去！第五句：
人生最大的愚蠢，就是无视自己的身体，用健康换取身外之物。身体垮了，健康没了，再用钱财治病。得不偿失，何必如此。不如好好爱惜自己的身体，有点小钱，衣食无忧就行。
第六句：
欲望可以有，但你不能贪。有欲望其实很正常，人或多或少，都有点自己想要的东西。但我们要让欲望合理化，不高过度，超过自己的能力太多，否则，只会累坏了自己！
第七句：
两年学说话，一生学闭嘴，智者语迟，愚者话多，人贵在知而不言，懂得沉默。看透不说透，看穿别揭穿，管住嘴巴，避免话多惹祸。
第八句：
过去的事，封存不提；现在的事，用力做好；以后的事，顺其自然。别和天争，争不过天，别和人斗，斗出冲突。学会看淡看轻看开，顺其自然，一切随缘，属于你的，一定会来！
****************************************/
</script>
