【高中数学/对数函数】比较a=log3_6,b=log5_10,c=log7_14的大小

精选原创

科技之巅 2024-07-10 10:21:10 博主文章分类：数学王国 ©著作权

文章标签 高中数学对数函数 文章分类 代码人生

©著作权归作者所有：来自51CTO博客作者科技之巅的原创作品，请联系作者获取转载授权，否则将追究法律责任

【问题】

比较a=log3_6,b=log5_10,c=log7_14的大小

【解答】

a=log3_6=log3_3*2=log3_3+log3_2=1+log3_2

b=log5_10=log5_5*2=1+log5_2

c=log7_14=log7_7*2=1+log7_2

对于对数函数y=loga_x而言，x固定时，底数a越大，y值越小，也就是越贴近x轴。

综上，三者大小是a>b>c

【图像】

下图褐色线是函数y=1+logx_2的曲线，在（1，+∞）区间，函数是递减的，故log3_2>log5_2>log7_2,即a>b>c,与理论推导相符。

【高中数学/对数函数】比较a=log3_6,b=log5_10,c=log7_14的大小_高中数学对数函数

下图黄线是y=1+log3_x的曲线，蓝线是y=1+log5_x的曲线，绿线是y=1+log7_x的曲线，

由图可见当横坐标为2时，纵坐标是黄>蓝>绿，即a>b>c,亦与理论推导相符。

由两图也可见到，a,b,c三点位置不同，但纵坐标不同，这是身在不同的方程导致的。

【代码】

<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head>
     <title>UNASSIGNED</title>
     <style type="text/css">
     .centerlize{
        margin:0 auto;
        border:0px solid red;
        width:1200px;height:600px;
     }
     </style>
     </head>

     <body onload="draw();">
        <div class="centerlize">
            <canvas id="myCanvas" width="10px" height="10px" style="border:1px dashed black;">
                如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试.
            </canvas>
        </div>
     </body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 将全体代码拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，另存为.html文件，
* 再用chrome浏览器打开，就能看到动画效果。
******************************************************************/

// 系统常量定义处
const TITLE="比较a=log3_6,b=log5_10,c=log7_14的大小";    // 图像标题
const WIDTH=1200;                    // 画布宽度
const HEIGHT=600;                    // 画布高度
const ScaleUnit=100;                // 缩放比例

// 系统变量定义处
var context=0;                        // 画布环境
var stage;                            // 舞台对象
var timeElapsed=0;                    // 动画运作的的时间
const TIME_END=100000;                // 动画运作的期限

//-------------------------------
// Canvas开始运作，由body_onload调用
//-------------------------------
function draw(){
    document.title=TITLE;

    // 画图前初始化
    var canvas=document.getElementById('myCanvas');    
    canvas.width=WIDTH;
    canvas.height=HEIGHT; 
    context=canvas.getContext('2d');  
    
    // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换
    // 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向
    // 处置完毕后，原点移动到画布中央，向右为X正向，向上为Y的正向
    context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);
    context.rotate(Math.PI);
    context.scale(-1,1);

    // 初始化舞台
    stage=new Stage();

    // 开始动画
    animate();
};

//-------------------------------
// 画图
//-------------------------------
function animate(){    
    timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1

    stage.update(timeElapsed);
    stage.paintBg(context);
    stage.paint(context);

    if(timeElapsed<TIME_END){        
        window.requestAnimationFrame(animate);
    }
}

//-------------------------------
// 舞台对象定义处
//-------------------------------
function Stage(){
    var obj=new Object;

    obj.curve1={
        name:"曲线:y=1+logx_2",
        xEnd:10,
        x:0,
        y:0,
        color:"maroon",
        setY:function(x){
            this.y=1+Math.log(2)/Math.log(x);// 解析式

            // 制成坐标
            let coord={"x":x,"y":this.y};

            if(x<1){
                this.pts0.push(coord);
            }else{
                this.pts1.push(coord);
            }
        },
        "pts0":[],
        "pts1":[],
    };

    obj.curve2={
        name:"曲线:y=1+log3_x",
        xEnd:10,
        x:0,
        y:0,
        color:"orange",
        setY:function(x){
            this.y=1+Math.log(x)/Math.log(3);// 解析式

            // 制成坐标
            let coord={"x":x,"y":this.y};

            this.pts0.push(coord);
        },
        "pts0":[],
    };

    obj.curve3={
        name:"曲线:y=1+log5_x",
        xEnd:10,
        x:0,
        y:0,
        color:"blue",
        setY:function(x){
            this.y=1+Math.log(x)/Math.log(5);// 解析式

            // 制成坐标
            let coord={"x":x,"y":this.y};

            this.pts0.push(coord);
        },
        "pts0":[],
    };

    obj.curve4={
        name:"曲线:y=1+log7_x",
        xEnd:10,
        x:0,
        y:0,
        color:"green",
        setY:function(x){
            this.y=1+Math.log(x)/Math.log(7);// 解析式

            // 制成坐标
            let coord={"x":x,"y":this.y};

            this.pts0.push(coord);
        },
        "pts0":[],
    };
  

    // 随时间更新位置
    obj.update=function(t){
        // 记录曲线1的xy值
        if(obj.curve1.x<obj.curve1.xEnd){
            obj.curve1.x+=0.01;
            obj.curve1.setY(obj.curve1.x);
        }

        // 记录曲线2的xy值
        if(obj.curve2.x<obj.curve2.xEnd){
            obj.curve2.x+=0.01;
            obj.curve2.setY(obj.curve2.x);
        }

        // 记录曲线3的xy值
        if(obj.curve3.x<obj.curve3.xEnd){
            obj.curve3.x+=0.01;
            obj.curve3.setY(obj.curve3.x);
        }

        // 记录曲线4的xy值
        if(obj.curve4.x<obj.curve4.xEnd){
            obj.curve4.x+=0.01;
            obj.curve4.setY(obj.curve4.x);
        }
    };

    // 画前景
    obj.paint=function(ctx){  
        // 曲线一名称
        drawText(ctx,this.curve1.name,-130,225,this.curve1.color,18);
        // 曲线一当前点坐标
        drawText(ctx,"当前 X:"+this.curve1.x.toFixed(3)+"  Y:"+this.curve1.y.toFixed(3),-130,205,this.curve1.color,18);
        // 绘制曲线一
        paintCurve(ctx,this.curve1.color,this.curve1.pts0);
        paintCurve(ctx,this.curve1.color,this.curve1.pts1);
        //var mm=findMaxMin(this.curve2.pts0);
        //markMaxMin(ctx,mm,this.curve2.color);
       
        // a,b比较
        paintPoint(ctx,3,1+Math.log(2)/Math.log(3),"a","black");
        paintPoint(ctx,5,1+Math.log(2)/Math.log(5),"b","black"); 
        paintPoint(ctx,7,1+Math.log(2)/Math.log(7),"c","black");

        // 曲线2名称
        drawText(ctx,this.curve2.name,-130,175,this.curve2.color,18);
        // 曲线2当前点坐标
        drawText(ctx,"当前 X:"+this.curve2.x.toFixed(3)+"  Y:"+this.curve2.y.toFixed(3),-130,155,this.curve2.color,18);
        // 绘制曲线2
        paintCurve(ctx,this.curve2.color,this.curve2.pts0);

        // 曲线3名称
        drawText(ctx,this.curve3.name,-130,125,this.curve3.color,18);
        // 曲线3当前点坐标
        drawText(ctx,"当前 X:"+this.curve3.x.toFixed(3)+"  Y:"+this.curve3.y.toFixed(3),-130,105,this.curve3.color,18);
        // 绘制曲线3
        paintCurve(ctx,this.curve3.color,this.curve3.pts0);

        // 曲线4名称
        drawText(ctx,this.curve4.name,-130,75,this.curve4.color,18);
        // 曲线4当前点坐标
        drawText(ctx,"当前 X:"+this.curve4.x.toFixed(3)+"  Y:"+this.curve4.y.toFixed(3),-130,55,this.curve4.color,18);
        // 绘制曲线4
        paintCurve(ctx,this.curve4.color,this.curve4.pts0);

        // a,b比较
        paintPoint(ctx,2,1+Math.log(2)/Math.log(3),"a","black");
        paintPoint(ctx,2,1+Math.log(2)/Math.log(5),"b","black"); 
        paintPoint(ctx,2,1+Math.log(2)/Math.log(7),"c","black");
    };

    // 画背景
    obj.paintBg=function(ctx){
        // 清屏
        ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);
        ctx.fillStyle="white";
        ctx.fillRect(-600,-300,1200,600);

        // 画X轴
        drawAxisX(ctx,-600,600,50);

        // 画Y轴
        drawAxisY(ctx,-300,300,50);

        // 画网格线
        drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50,"lightGrey");
        
        // 左上角标题
        var metrics = ctx.measureText(TITLE);
        var textWidth = metrics.width;
        drawText(ctx,TITLE,-WIDTH/2+textWidth,HEIGHT/2-30,"grey",18);

        // 右下角作者，日期
        const waterMarkTxt="逆火原创@"+(new Date()).toLocaleDateString();
        metrics = ctx.measureText(waterMarkTxt);
        textWidth = metrics.width;
        drawText(ctx,waterMarkTxt,WIDTH/2-textWidth,-HEIGHT/2,"lightGrey",16);
    };
    
    return obj;
}

// 描绘并标识一个点
function paintPoint(ctx,x,y,text,color){
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,4,0,Math.PI*2,false);
    ctx.closePath();
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.stroke();
    drawText(ctx,text,x*ScaleUnit+9,y*ScaleUnit-5,color,12);
}

// 连点成线画曲线
function paintCurve(ctx,color,cds){
    ctx.strokeStyle = color;
    ctx.beginPath();     
    for(var i=0; i<cds.length; i++){
        let y=cds[i].y;
        if(Math.abs(cds[i].y*ScaleUnit)<300){
            ctx.lineTo(cds[i].x*ScaleUnit,cds[i].y*ScaleUnit);
        }
    }     
    ctx.stroke();        
}

// 找到坐标数组的最大最小值
function findMaxMin(cds){
    if(cds.length<1){
        return null;
    }

    var retval={max:-10000,max_x:0,min:10000,min_x:0};

    for(var i=0;i<cds.length;i++){
        var y=cds[i].y;

        if(y>retval.max){
            retval.max=y;
            retval.max_x=cds[i].x;
        }

        if(y<retval.min){
            retval.min=y;
            retval.min_x=cds[i].x;
        }
    } 

    return retval;
}

// 绘出最大最小值
function markMaxMin(ctx,mm,color){
    if(mm==null){
        return;
    }

    // 最大值
    var x=mm.max_x;
    var y=mm.max;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,5,0,Math.PI*2,false);
    ctx.closePath();
    ctx.stroke();
    var text="max@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
    drawText(ctx,text,x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,color,12);

    // 最小值
    var x=mm.min_x;
    var y=mm.min;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,5,0,Math.PI*2,false);
    ctx.closePath();
    ctx.stroke();
    var text="min@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
    drawText(ctx,text,x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,color,12);
}

// 定点画实心圆
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){
      ctx.save();

      ctx.beginPath();
      ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);
      ctx.fillStyle=color;
      ctx.fill();
      ctx.stroke();

      ctx.restore();
}

// 两点之间画线段
function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){
    ctx.save();

    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.fillStyle=color;

    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(x1,y1);
    ctx.lineTo(x2,y2);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    ctx.restore();
}

// 画横轴
function drawAxisX(ctx,start,end,step){
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle='navy';
    ctx.fillStyle='navy';

    // 画轴
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(start, 0);
    ctx.lineTo(end, 0);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    // 画箭头
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10);
    ctx.lineTo(end, 0);
    ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();
    
    // 画刻度
    var x,y;
    y=5;
    for(x=start;x<end;x+=step){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, 0);
        ctx.lineTo(x, y);
        
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();

        drawText(ctx,x/ScaleUnit+"",x,y-20,"navy",12);
    }

    ctx.restore();
}

// 画纵轴
function drawAxisY(ctx,start,end,step){
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.5;
    ctx.strokeStyle='navy';
    ctx.fillStyle='navy';

    // 画轴
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(0, start);
    ctx.lineTo(0, end);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    // 画箭头
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
    ctx.lineTo(0, end);
    ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();
    
    // 画刻度
    var x,y;
    x=5;
    for(y=start;y<end;y+=step){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y);
        ctx.lineTo(0, y);
        
        drawText(ctx,y/ScaleUnit+"",x-15,y,"navy",12);

        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    ctx.restore();
}

// 画网格线
function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2,color){
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.5;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.fillStyle=color;
    ctx.setLineDash([4,4]);// 设置虚线

    var x,y;
    for(x=x1;x<x2;x+=step1){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y1);
        ctx.lineTo(x, y2);
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    for(y=y1;y<y2;y+=step2){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x1, y);
        ctx.lineTo(x2, y);
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    ctx.restore();
}

//-------------------------------
// 角度得到弧度
//-------------------------------
function getRad(degree){
    return degree/180*Math.PI;
}

//-------------------------------
// 得到颜色
//-------------------------------
function getColor(index){
    var arr=[
        "aqua"/* aqua湖绿色*/,
        "black"/* black黑色*/,
        "blue"/* blue蓝色*/,
        "fuchsia"/* fuchsia 紫红*/,
        "green"/* green 绿色*/,
        "grey"/* grey 草木灰*/,
        "lime"/* lime 亮绿色*/,
        "maroon"/* maroon 棕色*/,
        "navy"/* navy 海军蓝*/,
        "orange"/* orange 橙色*/,
        "purple"/* purple 紫色*/,
        "red"/* red 大红*/,        
        "skyblue"/* skyblue 天蓝*/,
        "teal"/* teal 蓝绿色*/,
        "yellow"/* yellow 亮黄*/,
        "#aa0000"/* #aa0000 铁锈红*/,        
    ];

    if(index>arr.length){
        index=index % arr.length;
    }

    return arr[index];
}

//-------------------------------------
// 绘制文字,指定颜色
// ctx:绘图环境
// text:文字
// x,y:坐标
// color:颜色
// size:字体大小
//-------------------------------------
function drawText(ctx,text,x,y,color,size){
    ctx.save();
    ctx.translate(x,y)
    ctx.rotate(getRad(180))
    ctx.scale(-1,1)

    ctx.textBaseline="bottom";
    ctx.textAlign="center";
    ctx.fillStyle=color;
    ctx.font = size+"px consolas";

    ctx.fillText(text,0,0);
    ctx.restore();
}

// JS开立方
function kaiLiFang(x){
    if(x>0){
        return Math.pow(x,1/3);
    }else{
        return -Math.pow(-x,1/3);
    }
}
//-->
/**************************************
《赠友》
--杜运夑

我有眼泪给别人，但不愿

为自己痛哭；我没有使自己

适合于这世界，也没有美丽的

自辟的国土，就只好永远

渴望：为希望而生；在希望里

死去，终于承认了不知道

生命；接受了它又挥霍掉，

只是历史的工具，长路上的

一粒沙，所以拼命摆脱

那黑影，而他们因此讥笑我；

这就选择了寂寞，热闹的寂寞，

用笑声骗自己，飘浮在庸俗

生活的涡流里，而渐渐，我就说，

我是个庸俗主义者，无心痛哭。
**************************************/
</script>