支持向量机对偶形式 支持向量机 支持向量

基本概念

• SVM - Support Vector Machine。支持向量机，其含义是通过支持向量运算的分类器。其中“机”的意思是机器，可以理解为分类器。
  什么是支持向量呢？在求解的过程中，会发现只根据部分数据就可以确定分类器，这些数据称为支持向量。
  见下图，在一个二维环境中，其中点R，S，G点和其它靠近中间黑线的点可以看作为支持向量，它们可以决定分类器，也就是黑线的具体参数。



• 分类器：就是分类函数。
• 线性分类：可以理解为在2维空间中，可以通过一条直线来分类。在p维空间中，可以通过一个p-1维的超平面来分类。
• 向量：有多个属性的变量。在多维空间中的一个点就是一个向量。比如 x=(x1,x2,...,xn) x=(x1,x2,...,xn)。下面的w w也是向量。
• 约束条件(subject to) ： 在求一个函数的最优值时需要满足的约束条件。
• 向量相乘: xwT=∑ni=1wixi xwT=∑i=1nwixi
• 内积: ⟨x,y⟩=∑ni=1xiyi ⟨x,y⟩=∑i=1nxiyi

解决的问题：

• 线性分类
  在训练数据中，每个数据都有n个的属性和一个二类类别标志，我们可以认为这些数据在一个n维空间里。我们的目标是找到一个n-1维的超平面（hyperplane），这个超平面可以将数据分成两部分，每部分数据都属于同一个类别。
  其实这样的超平面有很多，我们要找到一个最佳的。因此，增加一个约束条件：这个超平面到每边最近数据点的距离是最大的。也成为最大间隔超平面（maximum-margin hyperplane）。这个分类器也成为最大间隔分类器（maximum-margin classifier）。
  支持向量机是一个二类分类器。
• 非线性分类
  SVM的一个优势是支持非线性分类。它结合使用拉格朗日乘子法和KKT条件，以及核函数可以产生非线性分类器。
• 分类器1 - 线性分类器
  是一个线性函数，可以用于线性分类。一个优势是不需要样本数据。
  classifier 1:
  f(x)=xwT+b(1) (1)f(x)=xwT+b
  w w 和 b b 是训练数据后产生的值。
• 分类器2 - 非线性分类器 支持线性分类和非线性分类。需要部分样本数据（支持向量），也就是αi≠0 αi≠0的数据。

∵ 
     ∵
w=∑ni=1αiyixi 
     w=∑i=1nαiyixi
∴ 
     ∴
classifier 2:
 
  f(x)=∑ni=1αiyiK(xi,x)+bherexi : training data iyi : label value of training data iαi : Lagrange multiplier of training data iK(x1,x2)=exp(−∥x1−x2∥22σ2) : kernel function(2) 
    (2)f(x)=∑i=1nαiyiK(xi,x)+bherexi : training data iyi : label value of training data iαi : Lagrange multiplier of training data iK(x1,x2)=exp(−∥x1−x2∥22σ2) : kernel function 
α 
    α, σ 
    σ 和 b

• b 是训练数据后产生的值。
  可以通过调节σ σ来匹配维度的大小，σ σ越大，维度越低。

核心思想

• SVM的目的是要找到一个线性分类的最佳超平面 f(x)=xwT+b=0 f(x)=xwT+b=0。求 w w 和 b b。
• 首先通过两个分类的最近点，找到f(x) f(x)的约束条件。
• 有了约束条件，就可以通过拉格朗日乘子法和KKT条件来求解，这时，问题变成了求拉格朗日乘子αi αi 和 b b。
• 对于异常点的情况，加入松弛变量ξ ξ来处理。
• 使用SMO来求拉格朗日乘子αi αi和b b。这时，我们会发现有些αi=0 αi=0，这些点就可以不用在分类器中考虑了。
• 惊喜! 不用求w w了，可以使用拉格朗日乘子αi αi和b b作为分类器的参数。
• 非线性分类的问题：映射到高维度、使用核函数。

详解

线性分类及其约束条件

SVM的解决问题的思路是找到离超平面的最近点，通过其约束条件求出最优解。

对于训练数据集T，其数据可以分为两类C1和C2。

对于函数：f(x)=xwT+b

f(x)=xwT+b

对于C1类的数据 xwT+b⩾1

xwT+b⩾1。其中至少有一个点xi xi， f(xi)=1 f(xi)=1。这个点称之为最近点。

对于C2类的数据 xwT+b⩽−1

xwT+b⩽−1。其中至少有一个点xi xi， f(xi)=−1 f(xi)=−1。这个点称也是最近点。

上面两个约束条件可以合并为：

yif(xi)=yi(xiwT+b)⩾1

yif(xi)=yi(xiwT+b)⩾1。

yi

yi是点xi xi对应的分类值（-1或者1）。

求w

w和b b.

则超平面函数是xwT+b=0

xwT+b=0。

为了求最优的f(x)， 期望训练数据中的每个点到超平面的距离最大。

（解释1: 这里需要理解一个事情，根据上图，我们可以给每个点做一条平行于超平面的平行线（超平行面），因此，这个最大化相当于求最近点到超平面距离的最大化。）

总结，现在我们的公式是：
Formula 6.1

f(x)=xwT+bsubject toyif(xi)=yi(xiwT+b)⩾1,i=1,...,n(3)   (3)f(x)=xwT+bsubject toyif(xi)=yi(xiwT+b)⩾1,i=1,...,n

几个训练脑筋的小问题：

• Q: y是否可以是其它非{-1， 1}的值?
  A: 将y值定义为{-1， 1}是最简化的方案。你的分类可以是cat和dog，只要将cat对应到1, dog对应到-1就可以了。你也可以将y值定义为其它数比如: -2, 2或者2, 3之类的，但是这样就需要修改超平面函数和约束条件，增加了没必要的繁琐，实际上和y值定义为{-1， 1}是等价的。
• Q: 如果两组数据里的太近或者太远，是不是可能就找不到xwT+b=1 xwT+b=1 和xwT+b=−1 xwT+b=−1的这两个点？
  A: 不会。假设可以找到xiwT+b=c xiwT+b=c 和 xjwT+b=−c xjwT+b=−c. c>0andc<>1 c>0andc<>1。其超平面函数为xwT+b=0 xwT+b=0.
  上面公式左右同时除以c, 则：
  xiwT/c+b/c=1 xiwT/c+b/c=1
  xjwT/c+b/c=−1 xjwT/c+b/c=−1
  令:
  w′=w/c w′=w/c
  b′=b/c b′=b/c
  有:
  xiw′T+b′=1 xiw′T+b′=1
  xjw′T+b′=−1 xjw′T+b′=−1
  可以找到超平面函数:
  xwT+b′=0 xwT+b′=0
  因此，总是可以找到y是{-1, 1}的超平面，如果有的话。

最大几何间隔（geometrical margin）

f(x) f(x)为函数间隔γ γ。
如果求max yf(x) max yf(x)，有个问题，就是w和b可以等比例增大，导致yf(x) yf(x)的间隔可以无限大。因此需要变成求等价的最大几何间隔：

γ¯=yf(x)∥w∥subject toyif(xi)=yi(xiwT+b)⩾1,i=1,...,n(4) (4)γ¯=yf(x)∥w∥subject toyif(xi)=yi(xiwT+b)⩾1,i=1,...,n

∥w∥ ∥w∥ : 二阶范数，也就是各项目平方和的平方根。 

∑ni=1w2i−−−−−−−√ ∑i=1nwi2

根据上面的解释，这个问题可以转变为：

max 1∥w∥subject toyi(xiwT+b)⩾1,i=1,...,n(5)   (5)max 1∥w∥subject toyi(xiwT+b)⩾1,i=1,...,n
 
 再做一次等价转换：
Formula 6.2 
min 12∥w∥2subject toyi(xiwT+b)⩾1,i=1,...,n(6)   (6)min 12∥w∥2subject toyi(xiwT+b)⩾1,i=1,...,n

求解问题w,b⇔αi,b w,b⇔αi,b

w w和b b，一个重要原因是使用拉格朗日乘子法后,还可以解决非线性划分问题。
拉格朗日乘子法和KKT条件可以解决下面这个问题：

1. 求一个最优化问题 f(x) f(x)
   刚好对应我们的问题：min12∥w∥2 min12∥w∥2
2. 如果存在不等式约束gk(x)<=0,k=1,…,q gk(x)<=0,k=1,…,q。
   对应 subject to 1−yi(xiwT+b)<=0,i=1,...,n subject to 1−yi(xiwT+b)<=0,i=1,...,n
3. F(x)必须是凸函数。这个也满足。

SVM的问题满足使用拉格朗日乘子法的条件。因此问题变成：
Formula 6.3

maxα W(α)=L(w,b,α)=12∥w∥2−∑ni=1αi(yi(xiwT+b)−1)subject toαi>=0,i=1,...,n∑ni=1αiyi=01−yi(xiwT+b)<=0,i=1,...,nw=∑ni=1αiyixihereαi : Lagrange multiplier of training data i(7)   (7)maxα W(α)=L(w,b,α)=12∥w∥2−∑i=1nαi(yi(xiwT+b)−1)subject toαi>=0,i=1,...,n∑i=1nαiyi=01−yi(xiwT+b)<=0,i=1,...,nw=∑i=1nαiyixihereαi : Lagrange multiplier of training data i
 
w    w之后变为：
Formula 6.4 
maxα W(α)=L(w,b,α)=∑ni=1αi−12∑ni,j=1αiαjyiyjxTixjsubject toαi>=0,i=1,...,n∑ni=1αiyi=0αi(1−yi(∑nj=1αjyj⟨xj,xi⟩+b))=0,i=1,...,n(8)   (8)maxα W(α)=L(w,b,α)=∑i=1nαi−12∑i,j=1nαiαjyiyjxiTxjsubject toαi>=0,i=1,...,n∑i=1nαiyi=0αi(1−yi(∑j=1nαjyj⟨xj,xi⟩+b))=0,i=1,...,n

⟨xj,xi⟩ ⟨xj,xi⟩是

xj xj 和  xi xi的内积，相当于 xixTj xixjT。

可见使用拉格朗日乘子法和KKT条件后，求 w,b

w,b的问题变成了求拉格朗日乘子 αi αi和 b b的问题。

到后面更有趣，变成了不求 w

w了，因为 αi αi可以直接使用到分类器中去，并且可以使用 αi αi支持非线性的情况（ xwT+b xwT+b是线性函数，支持不了非线性的情况哦）。

以上的具体证明请看：解密SVM系列（二）：SVM的理论基础 关于拉格朗日乘子法和KKT条件，请看：深入理解拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier)和KKT条件

处理异常点（outliers）

如上图：点w是一个异常点，导致无法找到一个合适的超平面，为了解决这个问题，我们引入松弛变量(slack variable)ξ ξ。

修改之间的约束条件为：xiwT+b>=1–ξifor all i = 1, …, n xiwT+b>=1–ξifor all i = 1, …, n

则运用拉格朗日乘子法之后的公式变为：

Formula 6.5 
maxα W(α)=L(w,b,α)=∑ni=1αi−12∑ni,j=1αiαjyiyjxjxTisubject to0⩽αi⩽C,i=1,...,n∑ni=1αiyi=0αi(1−yi(∑nj=1αjyj⟨xj,xi⟩+b))=0,i=1,...,n(9)   (9)maxα W(α)=L(w,b,α)=∑i=1nαi−12∑i,j=1nαiαjyiyjxjxiTsubject to0⩽αi⩽C,i=1,...,n∑i=1nαiyi=0αi(1−yi(∑j=1nαjyj⟨xj,xi⟩+b))=0,i=1,...,n

输入参数：

• 参数C C，越大表明影响越严重。C C应该一个大于0值。其实C C也不能太小，太小了就约束αi αi了，比如200。
• 参数ξ ξ，对所有样本数据起效的松弛变量，比如：0.0001。
  具体证明请看：
  解密SVM系列（二）：SVM的理论基础

求解α α

1996年，John Platt发布了一个称为SMO的强大算法，用于训练SVM。SMO表示序列最小优化（Sequential Minimal Optimization）。
SMO方法：
概要：SMO方法的中心思想是每次取一对αi αi和αj αj，调整这两个值。
参数: 训练数据/分类数据/C C/ξ ξ/最大迭代数
过程：

初始化α α为0；
在每次迭代中 （小于等于最大迭代数），
- 找到第一个不满足KKT条件的训练数据，对应的αi αi，
- 在其它不满足KKT条件的训练数据中，找到误差最大的x，对应的index的αj αj，
- αi αi和αj αj组成了一对，根据约束条件调整αi αi, αj αj。

不满足KKT条件的公式：
Formula 6.6

(1) yi(ui−yi)⩽ξ and αi<C(2) yi(ui−yi)⩾ξ and αi>0hereui=∑nj=1αjyjK(xj,xi)+bK(x1,x2)=⟨x1,x2⟩ξ : slack variable(10)   (10)(1) yi(ui−yi)⩽ξ and αi<C(2) yi(ui−yi)⩾ξ and αi>0hereui=∑j=1nαjyjK(xj,xi)+bK(x1,x2)=⟨x1,x2⟩ξ : slack variable

调整公式：

Formula 6.7

αnew2=αold2−y2(E1−E2)ηαnew1=αold1+y1y2(αold2−αnew2)b1=bold−E1−y1(αnew1−αold1)K(x1,x1)−y2(αnew2−αold2)K(x1,x2)b2=bold−E2−y1(αnew1−αold1)K(x1,x2)−y2(αnew2−αold2)K(x2,x2)b=⎧⎩⎨⎪⎪b1b2b1+b22if 0⩽αnew1⩽Cif 0⩽αnew2⩽CotherwisehereEi=ui−yiη=2K(x1,x2)−K(x1,x1)−K(x2,x2)ui=∑nj=1αjyjK(xj,xi)+bK(x1,x2)=⟨x1,x2⟩(11)   (11)α2new=α2old−y2(E1−E2)ηα1new=α1old+y1y2(α2old−α2new)b1=bold−E1−y1(α1new−α1old)K(x1,x1)−y2(α2new−α2old)K(x1,x2)b2=bold−E2−y1(α1new−α1old)K(x1,x2)−y2(α2new−α2old)K(x2,x2)b={b1if 0⩽α1new⩽Cb2if 0⩽α2new⩽Cb1+b22otherwisehereEi=ui−yiη=2K(x1,x2)−K(x1,x1)−K(x2,x2)ui=∑j=1nαjyjK(xj,xi)+bK(x1,x2)=⟨x1,x2⟩

具体证明请参照:

最后一步：解决非线性分类

根据机器学习的理论，非线性问题可以通过映射到高维度后，变成一个线性问题。
比如：二维下的一个点<x1,x2> <x1,x2>, 可以映射到一个5维空间，这个空间的5个维度分别是:x1,x2,x1x2,x12,x22 x1,x2,x1x2,x12,x22。
映射到高维度，有两个问题：一个是如何映射？另外一个问题是计算变得更复杂了。
幸运的是我们可以使用核函数(Kernel function)来解决这个问题。
核函数(kernel function)也称为核技巧(kernel trick)。
核函数的思想是：

仔细观察Formula 6.6 和 Formula 6.7，就会发现关于向量x x的计算，总是在计算两个向量的内积K(x1,x2)=⟨x1,x2⟩ K(x1,x2)=⟨x1,x2⟩。
因此，在高维空间里，公式的变化只有计算低维空间下的内积⟨x1,x2⟩ ⟨x1,x2⟩变成了计算高维空间下的内积⟨x′1,x′2⟩ ⟨x1′,x2′⟩。
核函数提供了一个方法，通过原始空间的向量值计算高维空间的内积，而不用管映射的方式。
我们可以用核函数代替K(x1,x2) K(x1,x2)。

核函数有很多种, 一般可以使用高斯核（径向基函数（radial basis function））
Formula 6.8

K(x1,x2)=exp(−∥x1−x2∥22σ2)(12)   (12)K(x1,x2)=exp(−∥x1−x2∥22σ2)

可以通过调节 σ σ来匹配维度的大小，

σ σ越大，维度越低，比如10。

可以参照：

解密SVM系列（四）：SVM非线性分类原理实验

支持向量机通俗导论（理解SVM的三层境界）

如何解决多类分类问题

支持向量机是一个二类分类器。基于SVM如何构建多类分类器，建议阅读C. W. Huset等人发表的一篇论文"A Comparison of Methods for Multiclass Support Vector Machines"。需要对代码做一些修改。