前面讲述了利用贪心算法求解最短路径的两种算法，分别是BFS以及Dijkstra算法。接下来要介绍的这种是一种动态规划的算法——弗洛伊德算法。
用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释。从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。
算法描述：
- 从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大，这也是所谓的初始化工作；
- 对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。
以下图为例，对Floyd 算法进行演示。
首先是算法的初始状态：矩阵S是记录各个顶点间最短路径的矩阵。
第1步：
初始化S。矩阵S中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值；如果i和j不相邻，则a[i][j]=∞。实际上，就是将图的原始矩阵复制到S中。
注:a[i][j]表示矩阵S中顶点i(第i个顶点)到顶点j(第j个顶点)的距离。
第2步：
以顶点A(第1个顶点)为中介点，若a[i][j] > a[i][0]+a[0][j]，则设置a[i][j]=a[i][0]+a[0][j]。
以顶点a[1][6]，上一步操作之后，a[1][6]=∞；而将A作为中介点时，(B,A)=12，(A,G)=14，因此B和G之间的距离可以更新为26。
同理，依次将顶点B,C,D,E,F,G作为中介点，并更新a[i][j]的大小。
下面我们给出实现的代码：
public class MatrixUDG {
private int mEdgNum; // 边的数量
private char[] mVexs; // 顶点集合
private int[][] mMatrix; // 邻接矩阵
private static final int INF = Integer.MAX_VALUE; // 最大值
...//省略部分代码
/**
* floyd最短路径。
* 即，统计图中各个顶点间的最短路径。
* 参数说明：
* path -- 路径。path[i][j]=k表示，"顶点i"到"顶点j"的最短路径会经过顶点k。
* dist -- 长度数组。即，dist[i][j]=sum表示，"顶点i"到"顶点j"的最短路径的长度是sum。
*/
public void floyd(int[][] path, int[][] dist) {
// 初始化
for (int i = 0; i < mVexs.length; i++) {
for (int j = 0; j < mVexs.length; j++) {
dist[i][j] = mMatrix[i][j]; // "顶点i"到"顶点j"的路径长度为"i到j的权值"。
path[i][j] = j; // "顶点i"到"顶点j"的最短路径是经过顶点j。
}
}
// 计算最短路径
for (int k = 0; k < mVexs.length; k++) {
for (int i = 0; i < mVexs.length; i++) {
for (int j = 0; j < mVexs.length; j++) {
// 如果经过下标为k顶点路径比原两点间路径更短，则更新dist[i][j]和path[i][j]
int tmp = (dist[i][k]==INF || dist[k][j]==INF) ? INF : (dist[i][k] + dist[k][j]);
if (dist[i][j] > tmp) {
// "i到j最短路径"对应的值设，为更小的一个(即经过k)
dist[i][j] = tmp;
// "i到j最短路径"对应的路径，经过k
path[i][j] = path[i][k];
}
}
}
}
// 打印floyd最短路径的结果
System.out.printf("floyd: \n");
for (int i = 0; i < mVexs.length; i++) {
for (int j = 0; j < mVexs.length; j++)
System.out.printf("%2d ", dist[i][j]);
System.out.printf("\n");
}
}
}下面分别给出“邻接矩阵图“和“邻接表图”的弗洛伊德源码。
