1. 全概率公式
在讲全概率公式之前，首先要理解什么是“完备事件群”。 我们将满足
BiBj=∅(i≠j)B1+B2+⋯=Ω
这样的一组事件称为一个“完备事件群”。简而言之，就是事件之间两两互斥，所有事件的并集是整个样本空间（必然事件）。
假设我们要研究事件A。我们希望能够求出P(A)，但是经过一番探索，却发现P(A)本身很难直接求出，不过却能够比较容易地求出各个P(Bi)，以及相应的条件概率P(A|Bi)。 能不能根据这些信息，间接地求出P(A)呢？ 这当然是可以的。
我们不要忘记，Bi是两两互斥的。
A=AΩ=AB1+AB2+AB3+⋯
显然，AB1，AB2，AB3，⋯也是两两互斥的。1 一说到两两互斥，我们就想到了概率的加法定理：2
P(A)=P(AΩ)=P(AB1+AB2+AB3+⋯)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)+⋯
再根据条件概率的定义，我们得到了教科书上的全概率公式：
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)+⋯
这样费了一番周折，我们总算得到了所求的P(A)。可以发现，虽然P(A)本身不好求，但我们可以根据它散落的“碎片”间接地将其求出。但不是所有情况都是能这样求出的——我们必须保证B1，B2，B3，⋯是一个完备事件群。这个其实也很好理解，假如你想将一个碎掉的花瓶重新还原，碎片如果不全，或者碎片之间出现了多余的“重叠”，还原工作都将以失败告终。
全概率公式可以从另一个角度去理解，把Bi看作是事件A发生的一种“可能途径”，若采用了不同的途径，A发生的概率，也就是相应的条件概率P(A|Bi)也会不同。但是，我们事先却并不知道将会走哪条途径，换言之，途径的选择是随机的3，这样就导致了不同途径被选中的可能性也许也会存在差异，这就是P(Bi)所表达的含义。这样一来，我们最终所要求的P(A)，实际上就是一个不同路径概率的加权平均。 下面我们来举一个例子。 某地盗窃风气盛行，且偷窃者屡教不改。我们根据过往的案件记录，推断A今晚作案的概率是0.8，B今晚作案的概率是0.1，C今晚作案的概率是0.5，除此之外，还推断出A的得手率是0.1，B的得手率是1.0，C的得手率是0.5。那么，今晚村里有东西被偷的概率是多少？ 通过阅读上述文字，我们大概对A、B、C三人有了一个初步的印象。首先，A的脑子可能有些问题，特别喜欢偷，但是技术相当烂。B看来是个江湖高手，一般不出手，一出手就绝不失手。C大概是追求中庸，各方面都很普通。 我们将文字描述转换为数学语言，根据作案频率可知
P(A)=0.8,P(B)=0.1,P(C)=0.5
将“村里有东西被偷”记为S，根据得手率可以得到
P(S|A)=0.1,P(S|B)=1.0,P(S|C)=0.5
很简单，所求得的就是
P(S)=P(A)P(S|A)+P(B)P(S|B)+P(C)P(S|C)=0.43
祝这个村晚上好运吧。
2. 贝叶斯公式
有了前面的基础，我们现在先直接抛出贝叶斯公式：
P(Bi|A)=P(ABi)P(A)=P(Bi)P(A|Bi)∑jP(Bj)P(A|Bj)
这个公式本身平平无奇，无非就是条件概率的定义加上全概率公式一起作出的一个推导而已。但它所表达的意义却非常深刻。 在全概率公式中，如果将A看成是“结果”，Bi看成是导致结果发生的诸多“原因”之一，那么全概率公式就是一个“原因推结果”的过程。但贝叶斯公式却恰恰相反。贝叶斯公式中，我们是知道结果A已经发生了，所要做的是反过来研究造成结果发生的原因，是XX原因造成的可能性有多大，即“结果推原因”。
举个例子： 假设某种病菌在人口中的带菌率为0.03，由于技术落后等等原因，使得带菌者有时也未被检出阳性反应（假阴性），不带菌者也可能会被检出阳性反应（假阳性）。有如下数据：
P(阳性|带菌)=0.99,P(阴性|带菌)=0.01,P(阳性|不带菌)=0.05,P(阴性|不带菌)=0.95
假如一个人被检出阳性，那么这个人带菌的概率是多少？
如果不用概率的思维，光凭感觉去想这个问题……误检率那么低，那这个带菌的可能性大概会很高吧？ 我们用贝叶斯公式去实际计算一下。
P(带菌|阳性)=P(带菌)P(阳性|带菌)P(带菌)P(阳性|带菌)+P(不带菌)P(阳性|不带菌)=0.03×0.990.03×0.99+0.97×0.05=0.38
结果竟然连40%都没到。 问题出在哪里？我们没有注意到，带菌率低到只有0.03，甚至比误检率还要低。也就是说，在一大批人里可以检查出一堆阳性的，而这堆阳性的人里面真正带菌的，也只是一小部分而已。
贝叶斯公式与机器学习
在机器学习中，我们经常遇到的一个问题就是分类。 我们看看维基百科上的“性别分类”问题（维基百科-朴素贝叶斯分类器）。 我们想要实现的是，通过知道一个人的身高、体重以及脚的尺寸，去判断这个人是男是女。 为了能够判断，我们当然需要一些参考数据，或者说，训练数据：
性别 | 身高（英尺） | 体重（磅） | 脚的尺寸（英寸） |
男 | 6 | 180 | 12 |
男 | 5.92 | 190 | 11 |
男 | 5.58 | 170 | 12 |
男 | 5.92 | 165 | 10 |
女 | 5 | 100 | 6 |
女 | 5.5 | 150 | 8 |
女 | 5.42 | 130 | 7 |
女 | 5.75 | 150 | 9 |
问题来了： 现有一身高6英尺，体重130磅，脚尺寸为8英寸的人，这个人是男是女呢？
这个表格看起来不够直观，我们先做一点微小的数据可视化工作：
#!/usr/bin/python3
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt fig = plt.figure() ax = fig.add_subplot(111, projection='3d') # 身高、体重、脚尺寸数据 x = [6, 5.92, 5.58, 5.92, 5, 5.5, 5.42, 5.75] y = [180, 190, 170, 165, 100, 150, 130, 150] z = [12, 11, 12, 10, 6, 8, 7, 9] # 男性用红色园圈表示 ax.scatter(x[:4], y[:4], z[:4], c='r', marker='o', s=100) # 女性用蓝色三角表示 ax.scatter(x[4:], y[4:], z[4:], c='b', marker='^', s=100) ax.set_xlabel('Height (feet)') ax.set_ylabel('Weight (lbs)') ax.set_zlabel('Foot size (inches)') # 显示散点图 plt.show()
尽管只有8组数据，但我们在图中也大概看了出来，似乎男女的数据点都有种“聚成一团”的感觉，这似乎是一种启示。
但是这个和贝叶斯能有什么关系呢？ 我们先对前面的贝叶斯公式做一些“扩展”： 我们记F1、F2、F3分别为身高、体重、脚尺寸的随机变量，取值当然是各自坐标轴上的值。再记C为分类结果的随机变量，取值为“男”或“女”。 不要忘了我们要解决的问题是什么。我们所要解决的问题的本质，就是在已知F1、F2、F3的时候，判断p(男|F1,F2,F3)与p(女|F1,F2,F3)究竟哪个更加大，换言之，这个人是更像男还是更像女，写成数学语言就是：
c^=argmaxcp(C|F1,F2,F3)
根据贝叶斯公式，得
p(C|F1,F2,F3)=p(F1,F2,F3|C)P(C)p(F1,F2,F3)
我们的任务只是比较大小，而上式右边的分母是一个常数，不妨将其忽略掉以简化计算。这时候我们的问题就剩下如何求p(F1,F2,F3|C)P(C)了。 我们认定F1、F2、F3是彼此独立的特征4，那么有
p(F1,F2,F3|C)=p(F1|C)p(F2|C)p(F3|C)
于是我们的问题就化简为了
c^=argmaxcp(F1|C)p(F2|C)p(F3|C)P(C)
这样就够了么？当然没有。我们还有一个严重的问题没有解决——连续随机变量。我们不能想离散随机变量那样计算p(Fi|C)。 然而我们可以假设，身高、体重、脚尺寸都是正态分布。 我们分析一下样本数据的数字特征：
性别 | 均值(身高) | 方差(身高) | 均值(体重) | 方差(体重) | 均值(脚的尺寸) | 方差(脚的尺寸) |
男性 | 5.855 | 3.5033e-02 | 176.25 | 1.2292e+02 | 11.25 | 9.1667e-01 |
女性 | 5.4175 | 9.7225e-02 | 132.5 | 5.5833e+02 | 7.5 | 1.6667e+00 |
得到了均值与方差，也就得到了正态分布的μ与σ2参数。 如此，p(F1|C)p(F2|C)p(F3|C)就能顺利求出了。 比如，
p(F1=6|男)=12πσ2−−−−√exp(−(6−μ)22σ2)≈1.5789
值得注意的是，这里求的是连续随机变量的概率密度，所以求出比1大的值也是正常的5。 剩下的P(C)可以用样本中男女的出现频率来估计，估算出都是0.5。
综上，我们计算可得：
p(F1=6|男)p(F2=130|男)p(F3=8|男)P(男)=6.1984×10−9
p(F1=6|女)p(F2=130|女)p(F3=8|女)P(女)=5.3778×10−4
从计算结果可以看出，这个人是女性的可能性远大于是男性的可能性。
如果要通过编程实现这一过程，还要考虑平滑处理，这里不再赘述。
- 如果没有想明白这一步，可以利用Venn图来帮助理解。 ↩
- 若干个两两互斥的事件之和的概率，等于各事件的概率之和，即 P(A1+A2+⋯)=P(A1)+P(A2)+⋯ ↩
- 随机事件的意思就是，在试验之前你并不知道该事件是否会在试验中发生，发生与否取决于机遇。 ↩
- 假设不同特征彼此独立，即，当有 P(y|x1,⋯,xn)=P(y)P(x1,⋯,xn|y)P(x1,⋯,xn) 我们假设 P(xi|y,x1,⋯,xi−1,xi+1,⋯,xn)=P(xi|y) 所以才称作“朴素”贝叶斯（Naive Bayes）。 ↩
- 概率密度可以理解为“瞬时”的概率。对于概率密度函数，必须要满足两条性质： (1)f(x)≥0;(2)∫∞−∞f(x)dx=1 所以只要f(x)整体的积分为1就可以了，并不要求局部的每个值都比1小。就像δ函数（维基百科-delta函数），虽然在0上的函数值可以大于1，但整体的积分却永远是1。 ↩
