51nod 1119 机器人走方格 V2 费马小定理求组合数

题目：

http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1119

题意：

M * N的方格，一个机器人从左上走到右下，只能向右或向下走。有多少种不同的走法？由于方法数量可能很大，只需要输出Mod 10^9 + 7的结果。
Input
第1行，2个数M,N，中间用空格隔开。（2 <= m,n <= 1000000)
Output
输出走法的数量 Mod 10^9 + 7。

思路：

简单的写一下矩阵，就可以发现把矩阵顺时针旋转45°就变成了一个杨辉三角，于是问题就转化成了求组合数，首先求出原矩阵中的位置在杨辉三角中的位置，位置转换很简单，n = n-1 + m-1，m = m - 1，然后就可以求组合数了，直接暴力求的话勉强能过，可以用费马小定理更快的求出，对于Cmnmod p，等于n!n!∗(n−m)!mod p，但不能n! mod pn!∗(n−m)! mod pmod p，而是用n!乘以n!∗(n−m)!在mod p下的逆元，可以用费马小定理加快速幂求逆元

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 2000000 + 10, INF = 0x3f3f3f3f, MOD = 1e9 + 7;
ll fact[N];
ll mod_pow(ll a, ll b, ll p)
{
    ll res = 1;
    a %= p;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = res * a % p;
        b >>= 1;
        a = a * a % p;
    }
    return res;
}
ll C(ll n, ll m, ll p)
{
    if(m > n) return 0;
    return fact[n] * mod_pow(fact[m]*fact[n-m]%p, p-2, p) % p;
}
ll Lucas(ll n, ll m, ll p)//虽然贴了卢卡斯但并没有什么用，跟直接求组合数没区别
{
    if(m == 0) return 1;
    return C(n%p, m%p, p) * Lucas(n/p, m/p, p) % p;
}
int main()
{
    fact[0] = 1;
    for(int i = 1; i < N; i++) fact[i] = fact[i-1] * i % MOD;
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    n += m - 2;
    m -= 1;
    printf("%lld\n", Lucas(n, m, MOD));
    return 0;
}

暴力求

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 100 + 10, INF = 0x3f3f3f3f, MOD = 1e9 + 7;
ll mod_pow(ll a, ll b, ll p)
{
    ll res = 1;
    a %= p;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = res * a % p;
        b >>= 1;
        a = a * a % p;
    }
    return res;
}
ll C(ll n, ll m, ll p)
{
    if(m > n) return 0;
    ll res = 1;
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        ll a = (n - i + 1) % p;
        ll b = i % p;
        res = res * (a * mod_pow(b, p-2, p) % p) % p;
    }
    return res;
}
ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{
    if(m == 0) return 1;
    return C(n%p, m%p, p) * Lucas(n/p, m/p, p) % p;
}
int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    n += m - 2;
    m -= 1;
    printf("%lld\n", Lucas(n, m, MOD));
    return 0;
}