4. 多重背包问题 I

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一、分析过程

动态规划需要分析：

（1）状态表示

集合：所有只从前i个物品中选，并且总体积不起过j的选法

属性：集合中每一个选法对应的总价值的最大值

（2）状态计算

就是一个集合划分的过程，就是和完全背包很像，但不像完全背包有无穷多个，而是有数量限制

\(f[i][j]=max(f[i-1][j-v[i]*k]+w_i*k) \ \ k \in \\{0,1,2,3,4,...\\}\)

二、二维数组表示法

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

//多重背包问题，每件物品的数量是有限制的，不是无穷，也不是只有1个。
// 状态表示  集合，属性
// 状态计算

const int N = 110;

int n, m;
int v[N], w[N], s[N];
int f[N][N];

int main() {
    //优化输入
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];

    // 朴素作法的状态转移方程
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= m; j++)
            for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k++) //尝试拿到最大的合理值,多加一个限定条件就搞定了！
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);

    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

三、一维数组表示法

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

//多重背包问题，每件物品的数量是有限制的，不是无穷，也不是只有1个。
// 状态表示  集合，属性
// 状态计算

const int N = 110;

int n, m;
int v[N], w[N], s[N];
int f[N];

int main() {
    //优化输入
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = m; j >= 0; j--)
            for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k++) //穷举所有可能性，尝试拿到最大的合理值
                f[j] = max(f[j], f[j - v[i] * k] + w[i] * k);

    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}