9. 分组背包问题

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一、思路分析

(1)状态表示\(f[i][j]\)

集合：只从前\(i\)组物品中选，且总体积不大于\(j\)的所有选法

属性：\(Max\)

(2) 状态计算[集合划分的思考过程]

完全背包问题是枚举第\(i\)个物品选几个（或者0个），分组背包问题枚举第\(i\)组物品选哪个（或者不选），有点拗口啊。

二、二维数组版本

#include <iostream>

using namespace std;
const int N = 110;

int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N][N];

//分组背包
int main() {
    //优化输入
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n >> m; //物品组数,背包容量
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        //第i组中的物品数量
        cin >> s[i];
        for (int j = 1; j <= s[i]; j++)
            cin >> v[i][j] >> w[i][j]; //读入每组物品的体积，价值
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)    //前i组物品
        for (int j = 0; j <= m; j++) //背包容量从小到大
            for (int k = 1; k <= s[i]; k++) {//遍历第k个物品
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j]);
                if (j >= v[i][k])
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);
            }
    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

三、一维数组版本

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 110;

int n;       //n类物品
int m;       //背包上限为m
int v[N][N]; //价值
int w[N][N]; //体积
int s[N];    //个数
int f[N];    //dp数组，最大值

//分组背包
int main() {
    //优化输入
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {//枚举每类物品,比如：水果，蔬菜，肉类...
        cin >> s[i];              //此类物品中物品的个数,比如2，可能是苹果、香蕉
        for (int j = 1; j <= s[i]; j++)//读入苹果、香蕉的价值和体积
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)        //遍历每类物品
        for (int j = m; j >= 0; j--)    //遍历每个可能的体积
            for (int k = 1; k <= s[i]; k++)//遍历第k个物品
                if (v[i][k] <= j)
                    f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);

    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}