关于回望期权的定价研究Python 回望期权价格

文章目录

• 期权回报与价格分析

• 期权的回报与盈亏分布
• 期权价格的特性

• 内在价值与时间价值

• 内在价值
• 实值期权、平价期权与虚值期权
• 期权的时间价值

• 期权价格的影响因素
• 假设
• 期权价格的上下限

• 期权价格的上限
• 期权价格的下限

• 提前执行美式期权的合理性

• 提前执行无收益资产美式看涨期权
• 提前执行无收益资产美式看跌期权
• 提前执行有收益资产美式看涨期权
• 提前执行有收益资产美式看跌期权

• 期权价格曲线形状

• 看涨期权价格曲线
• 看跌期权价格曲线

• 看跌期权与看涨期权的平价关系

• 无收益资产的欧式期权
• 有收益资产的欧式期权
• 美式期权

期权回报与价格分析

期权的回报与盈亏分布

回报未考虑期权费，盈亏考虑了期权费对交易双方最终收益状况的影响。

期权价格的特性

内在价值与时间价值

内在价值

期权价格（价值）=内在价值+时间价值

期权的内在价值（Intrinsic Value），是指如果立即执行期权时期权的价值，与0的较大值，是多方可能行使期权时所获回报最大贴现值的较大值。

$S=F(t,T)\times e^{-r(T-t)}=F(t,\tau)\times e^{-r_{\tau}(\tau-t)}$

其中，$I$ 表示在期权有效期内标的资产所获得的现金收益贴现至当前的现值。$\tau$ 是指期权多方行使期权的时刻，对欧式期权来说，多方只能在期权到期时决定行权与否并获得相应回报，故 $\tau=T$。

实值期权、平价期权与虚值期权

平价期权：At-the-money option

实值期权：In-the-money option

虚值期权：Out-of-the-money option

平值点，就是使得期权内在价值由正值变化到0的标的资产价格的临界点。

在值程度：以欧式期权为例，其在值程度表示为 $\ln\frac{X}{F(t,T)}$，范围是 $(-\infin,+\infin)$。平值期权的在值程度为0。

期权的时间价值

其他条件相同时，距离期权到期时间越长，期权时间价值越大。

其他条件相同时，标的资产价格变化越大，期权的时间价值就越大。一般用标的资产价格的波动率来描述价格的变化。

期权价格受内在价值的影响，在期权平值点时间价值达到最大，并随期权实值量和虚值量增加而递减。

期权价格的影响因素

1. 标的资产的市场价格与期权的行权价格：看涨期权在行权时，其收益等于标的资产当时的市价与行权价格之差，因此，标的资产的价格越高、行权价格越低，看涨期权的价格就越高；对于看跌期权，其收益等于行权价格与标的资产市价的差额，因此，标的资产的价格越低，行权价格越高，看跌期权的价格就越高。
   

1. 期权的有效性：对美式期权而言，可以在有效期内任何时间执行，有效期越长，期权多头获利机会就越大，所以有效期越长，期权价格越高；对于欧式期权，有效期长的期权不一定包含有效期短的期权的所有执行机会，有效期与期权价格之间的关系较为复杂。
2. 标的资产价格的波动率：标的资产价格的波动率是用于衡量标的资产未来价格变动不确定性的指标。无论是看涨期权还是看跌期权，其时间价值以及整个期权价格都随着标的资产价格波动率的增大而提高，随标的资产价格波动率的减小而降低。
   

历史波动率、隐含波动率

1. 无风险利率：无风险利率越高，标的资产的预期收益率越高，对应于标的资产现在特定的市价 $S$，未来预期价格 $E(S_T)$
2. 标的资产的收益：在期权有效期内标的资产产生现金收益将使看涨期权价格下降，而使看跌期权价格上升。

假设

1. 没有交易费用
2. 所有交易盈利（减去交易损失）的税率相同
3. 投资者可以按无风险利率借入与借出资金

期权价格的上下限

期权价格的上限

看涨期权价格的上限：在任何情况下，无收益资产期权价值都不会超过标的资产价格。对有收益的欧式看涨期权，上限为 $S-I$；对于有收益的美式看涨期权，上限为 $S$。$C\leq S,c\leq S-I$。

美式期权的价格至少与欧式期权价格相等：$C\geq c,P\geq p$。

看跌期权价格的上限：$P\leq X,p\leq Xe^{-r(T-t)}$

期权价格的下限

欧式看涨期权价格的下限：

1. 无收益资产欧式看涨期权价格的下限：考虑如下两个组合：
   组合A：一份欧式看涨期权加上金额为 $Xe^{-r(T-t)}$
   组合B：一单位标的资产。
   若现金按无风险利率投资， $T$ 时刻将变成 $X$，等于行权价格。此时是否执行看涨期权，取决于 $T$ 时刻的资产价格 $S_T$ 是否大于 $X$。若 $S_T>X$，则执行看涨期权，组合A的价值为 $S_T$；若 $S_T\leq X$，则不执行，组合A的价值为 $X$。$T$ 时刻，组合A的价值为：
   $\max(S_T,X)$
   $\max(S_T,X)\geq S_T$，所以 $t$ 时刻组合A的价值也应大于等于组合B，即：
   $c+Xe^{-r(T-t)}\geq S\\c\geq S-Xe^{-r(T-t)}$
   由于期权的价值一定为正，所以无收益资产欧式看涨期权价格的下限为：
   $c\geq\max[S-Xe^{-r(T-t)},0]$
2. 有收益资产欧式看涨期权价格的下限：考虑如下两个组合：
   组合A：一份欧式看涨期权加上金额为 $I+Xe^{-r(T-t)}$ 的现金，$I$
   组合B：一单位标的资产。
   有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：
   $c\geq\max[S-I-Xe^{-r(T-t)},0]$

欧式看跌期权价格的下限：

1. 无收益资产欧式看跌期权价格的下限：考虑如下两个组合：
   组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产。
   组合D：金额为 $Xe^{-r(T-t)}$
   $T$ 时刻，若 $S_T<X$，则执行看跌期权，组合C的价值为 $X$；若 $S_T> X$，则不执行，组合C的价值为 $S_T$。$T$ 时刻，组合C的价值为：
   $\max(S_T,X)$
   若现金按无风险利率投资， $T$ 时刻将变成 $X$， $T$ 时刻组合D的价值为 $X$。$\max(S_T,X)\geq X$，所以 $t$ 时刻组合C的价值也应大于等于组合D，即：
   $p+S\geq Xe^{-r(T-t)}\\p\geq Xe^{-r(T-t)}-S$
   由于期权的价值一定为正，所以无收益资产欧式看跌期权价格的下限为：
   $p\geq\max[Xe^{-r(T-t)}-S,0]$
2. 有收益资产欧式看跌期权价格的下限：
   $p\geq\max[Xe^{-r(T-t)}-(S-I),0]$
   $I$

提前执行美式期权的合理性

提前执行无收益资产美式看涨期权

提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的。

考虑如下两个组合：

组合A：一份美式看涨期权加上金额为 $Xe^{-r(T-t)}$

组合B：一单位标的资产。

不提前执行：$T$ 时刻组合A的价值 $\max(S_T,X)$，组合B的价值为 $S_T$，A的价值一定大于等于B。

在 $\tau$ 时刻提前执行：组合A的价值为 $S_\tau-X+Xe^{-r$，组合B的价值为 $S_\tau$，由于 $T>\tau,r$，因此 $Xe^{-r$。若提前执行期权，组合A的价值将小于组合B。

无收益资产美式看涨期权价格的下限为：
$C\geq\max(S-Xe^{-r(T-t)},0)$
不提前执行无收益美式看涨期权的原因：

1. 没有收益损失了。
2. 与货币的时间价值有关，付出执行价格越晚越好。
3. 与期权提供的保险有关，拥有期权实际上是对持有者提供了股票价格不会低于执行价格的保险。

另一种证明：
$c\geq S_0-Ke^{-r(T-t)},C\geq c\\\to C\geq S_0-Ke^{-r(T-t)}\\\to C>S_0-K$
如果提前执行：$C=S_0-K$，所以提前执行期权不是最优的。

提前执行无收益资产美式看跌期权

考虑如下两个组合：

组合A：一份美式看涨期权加上一单位标的资产。

组合B：金额为 $Xe^{-r(T-t)}$

不提前执行：$T$ 时刻组合A的价值 $\max(S_T,X)$，组合B的价值为 $X$，A的价值一定大于等于B。

在 $\tau$ 时刻提前执行：组合A的价值为 $X$，组合B的价值为 $Xe^{-r$，由于 $T>\tau,r$，因此 $Xe^{-r$，组合A的价值也高于组合B。

是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，主要取决于期权的实值额 $(X-S)$、无风险利率水平等因素。一般来说，只有当 $S$ 相对于 $X$ 来说较低，或者 $r$

由于无收益资产的美式看跌期权可能提前执行，期权价格下限变为：
$P\geq\max(X-S,0)$

提前执行有收益资产美式看涨期权

在有收益情况下，只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权方有可能是最优的。因此我们只需推导在每个除权日前提前执行的可能性。

如果在最后一个除权日 $t_n$ 时刻提前执行期权，则期权多方获得 $S_n-X$ 的回报。若不提前执行，则标的资产价格将由于除权降到 $S_n-D_n$。由于在 $t_n$ 时刻美式期权的价值满足：
$C_n\geq c_n\geq\max[S_n-D_n-Xe^{-r(T-t_n)},0]$
因此，如果
$S_n-D_n-Xe^{-r(T-t_n)}\geq S_n-X\\D_n\leq X[1-e^{-r(T-t_n)}]$
则在 $t_n$

如果 $D_n>X[1-e^{-r(T-t_n)}]$，则在 $t_n$ 提前执行有可能是合理的。实际上，只有当 $t_n$

类似地，对于任意时刻 $i$，在 $t_i$ 时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是：
$D_i\leq X[1-e^{-r(t_{i+1}-t_i)}]$
假设在期权有效期内，标的资产只在 $\tau+1$ 时支付股利，由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价格下限为：
$C\geq\max[S-Xe^{-r_\tau(\tau-t)},S-I-Xe^{-r(T-t)},0]$

提前执行有收益资产美式看跌期权

由于提前执行有收益资产的美式看跌期权意味着自己放弃收益权，因此与无收益资产的美式看跌期权相比，有收益资产美式看跌期权提前执行的可能性变小，但仍无法完全排除提前执行的可能性。

因此其下限为：
$P\geq\max[X-S,Xe^{-r_\tau(\tau-t)}-(S-I),0]$
结论：

1. 提前执行没有收益的美式看涨期权并不是最优的
2. 提前执行没有收益的美式看跌期权是可能的，特别是在其深度实值时
3. 有收益的美式看涨期权往往在分红前立即执行

期权价格曲线形状

看涨期权价格曲线

无收益资产：看涨期权价格上限为 $S$，下限为 $\max[S-Xe^{-r(T-t)},0]$，即期权的内在价值。当内在价值等于零时，期权价格就等于时间价值。时间价值在平值点 $S=Xe^{-r(T-t)}$ 时最大；当 $S$ 趋于 $0、\infin$ 时，时间价值也趋于0，此时看涨期权价值分别趋于内在价值 $0、S-Xe^{-r(T-t)}$。特别的，$S=0,C=c=0$。

此外，$r$ 越高、期权期限越长、标的资产价格波动率越大，则期权价格曲线以 $O$

有收益资产欧式：类似，只是上限变为 $S-I$，平值点换成了 $Xe^{-r(T-t)}+I$；

有收益资产美式：平值点为 $\max[Xe^{-r_\tau(\tau-t)},Xe^{-r(T-t)}+I]$。

看跌期权价格曲线

无收益资产欧式看跌期权的情形：欧式看跌期权的上限为 $Xe^{-r(T-t)}$，下限为 $\max[Xe^{-r(T-t)}-S,0]$。当 $Xe^{-r(T-t)}-S>0$ 时，它就是欧式看跌期权的内在价值，也是其价格下限；当 $Xe^{-r(T-t)}-S<0$，欧式看跌期权内在价值为0，其期权价格等于时间价格。当 $S=Xe^{-r(T-t)}$ 时，时间价值最大。当 $S$ 趋于 $0、\infin$，期权价值分别趋于 $Xe^{-r(T-t)}、0$。特别的，$S=0,p=Xe^{-r(T-t)}$。

此外，$r$ 越低、期权期限越长、标的资产价格波动率越高，则期权价格曲线以 $(0,Xe^{-r(T-t)})$

有收益资产欧式：类似，只是上限变为 $S-I$，平值点换成了 $Xe^{-r(T-t)}+I$；

有收益资产美式：上限为 $X$，平值点为 $X$ （标的资产无收益的情况）和 $\max[X,Xe^{-r_\tau(\tau-t)}+I]$（期权执行前标的资产有收益的情况）。

看跌期权与看涨期权的平价关系

无收益资产的欧式期权

考虑如下两个组合：

组合A：一份欧式看涨期权加金额为 $Xe^{-r(T-t)}$

组合B：一份有效期和协议价格与组合A中看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产

期权到期时，两个组合的价值均为 $\max(S_T,X)$。由于欧式期权不能提前执行，两组合在时刻 $t$ 的价值也必须相等，即：
$c+Xe^{-r(T-t)}=p+S$
当存在卖空限制时，套利活动无法正常开展，上式可能不成立，此时若存在远期或期货市场，则PCP公式变为：
$c+Xe^{-r(T-t)}=p+Fe^{-r(T-t)}$

有收益资产的欧式期权

考虑如下两个组合：

组合A：一份欧式看涨期权加金额为 $D+Xe^{-r(T-t)}$

组合B：一份有效期和协议价格与组合A中看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产

期权到期时，两个组合的价值均为 $\max(S_T,X)$。由于欧式期权不能提前执行，两组合在时刻 $t$ 的价值也必须相等，即：
$c+D+Xe^{-r(T-t)}=p+S$
平价关系的理解：

1. 可以用于价格计算
2. 可以用于购置回报相同的投资组合-“复制”
3. 寻找套利机会

美式期权

无收益（D=0）：$S_0-K\leq C-P\leq S_0-Ke^{-rt}$

有收益（D>0）：$S_0-D-K\leq C-P\leq S_0-Ke^{-rt}$