关系作为集合的运算：
- 关系的交：R ∩ S={(x,y)|x∈∈A, y∈∈A,xRy且xSy}
- 关系的并：R∪ S={(x,y)| x∈∈A, y∈∈A ,xRy或xSy}
- 关系的差：R - S={(x,y)| x∈∈A, y∈∈A ,xRy并且xS/y}
逆关系：R−1R−1 ={(y, x)|x∈∈A, y∈∈A, 并且有xRy}
关系的乘积：称关系R•S为关系R和S的乘积或合成
关系的乘法的结论：
- 关系的乘法不满足交换律
- 关系的乘法满足结合律
关系的幂
定理1.2.1 ：
- Rm⋅Rn=Rm+nRm⋅Rn=Rm+n
- (Rm)n=Rmn(Rm)n=Rmn
定理1.2.3：
几种特殊关系及特点：
- 自反关系：
- 反自反关系
- 对称关系
- 反对称关系
- 传递关系
定理1.2.4 ：集合A上的关系R具有传递性的充要条件是R2⊆RR2⊆R
常用结论：
集合A上的关系是对称的，反对称的，试指明关系R的结构——IAIA的任意子集
集合A有n个元素，则A上有多少个即具有对称性又具有反对称性的关系？ 2n2n（取对角线元素）
关系的性质总结：
关系的闭包：R 的自反闭包、对称闭包和传递闭包分别记为r(R)，s(R)，t(R) ，也称r， s，t为闭包运算，它们作用于关系R后，产生包含R的最小的自反、对称、传递的关系。
等价关系：如果R具有自反性，对称性，传递性，则称R是一个等价关系
等价类
定理1.2.7：
划分：
商集：设R是非空集合A上的等价关系，以R的所有不同等价类为元素作成的集合称为A关于R的商集，简称A的商集，记作A/R
等价关系=>商集：
商集=>等价关系：
定理1.2.8 ：设A为一个非空集合。
(1)设R为A上的任意一个等价关系，则对应R的商集A/R为A的一个划分。
(2)设C为A的任一个划分，令RcRc={(x,y)|x, y∈∈A并且x, y属于C的同一划分块}， 则RcRc为A上的等价关系
第二类Stirling数 ：
将n个不同的球放入r个相同的盒中去，并且要求无空盒，有多少种不同的放法？这里要求n⩾⩾r。
不同的放球方法数即为将n元集合A分为r块的不同的划分数。
（1）特值：
（2）递推公式：
加细：设C和C'都是集合A的划分，若C的每个划分块都包含于C'的某个划分块中，则称C是 C '的加细。
C是C'的加细当且仅当RcRc⊆⊆Rc′Rc′
综合例题：
偏序关系：
自反性，反对称性，传递性
偏序集(半序集、部分序集)。记作(A，R)
写做“≤”
哈斯图：
链：
对任意x, y∈∈A，如果x≤y，或y≤x，称x与y可比
一个部分序集的子集，其中任意两个元素都可比，称该子集为一条链
全序集：一个部分序集(A, ≤)说是一个全序集，如果(A, ≤)本身是一条链
拟序关系：
反自反性，反对称，传递性
最大(最小)元 极大(极小)元 ：只从给定集合里找
上(下)界，上(下)确界：从全体里找
上(下)确界：找所有上(下)界里距离所求集合最近的上(下)界。
上下界未必存在，存在时又未必唯一.
即使有上下界时，最小上界和最大下界也未必存在。
映 射
映射：设A，B是两个集合，若对A的每个元素a，规定了B的一个确定元素b与之对应，则称此对应为由A到B内的一个映射
将此映射记为σσ，于是对任意a∈∈A，若σσ(a)= b，则b表示B中与a对应之元素，b称为a的映像(image)，a称为b的原像(pre-image)
满射：设σσ是A到B内的映射，如果B中每一个元素都一定是A中某元素的映像，就称σσ是A到B上的映射（满射）
白话：B中所有元素都被箭头指向。
特别，A到A上的映射，称为变换
单射：设σσ是A到B内的映射，如果对任意a∈∈A，b∈∈A且a≠≠b，都有σσ(a) ≠≠σσ(b)，就称σσ是A到B的单射
白话：B中的元素最多只能有一个箭头指向。
注意：单射未必满射；满射未必单射
1-1映射（双射）：既满射，又单射。
逆映射
映射的乘积：σ⋅τ=τ∗σσ⋅τ=τ∗σ（运算顺序相反）
集合的基数 ：有限集合的元素数(势，浓度)。集合A的基数记为|A|
1-1映射，则称A与B基数相同，也称A与B对等（等势，等浓），记为|A|=|B|
把自然数集合的基数记为ℵ0ℵ0（读作阿列夫零），于是凡是与自然数集合对等的集合A，其基数|A|=ℵ0ℵ0
若A与B的某一子集有1-1对应关系，则|A|⩽⩽|B|；若A与B的某一子集有1-1对应关系，且A与B不存在1-1对应关系，则|A|<|B|
可数集合：
一个集合，如果它的元素为有限个，或者它与自然数集合之间存在一个1-1映射，则称此集合为可数集合。否则称该集合为不可数集合。元素个数不是有限的可数集合称为可数无穷集合。
定理1.3.2：可数集合的子集仍为可数集合。
定理1.3.3： 设A，B是可数集合，A∩B= ∅∅ ，则A∪B是可数集合
定理1.3.4：设A，B是可数无穷集合，则A××B是可数集合。
常用结论：
有理数集合Q是可数集合
整数的集合Z是可数无穷集
可数无穷多个可数集合的并集是可数集合。
不可数集合：
定理1.3.5 ：全体实数做成的集合是不可数集合
推论：实数集合R，区间(a,+∞∞)、[a,b]、[a,b)、(a,b]，其中a≠b，都是不可数的，且与区间(0,1)等浓。
把(0,1)区间内的实数集合的基数记为c，也记为ℵ1ℵ1。即c= ℵ1ℵ1
可数(无穷多)个基数为c的集合的并集基数仍为c
