反向传播复杂度 反向传播算法简单例题

非线性变换–Sigmoid

对于任何函数，仅进行线性变换，最后都会统一为y = W * x + b的形式，

这就导致线性变换的层数再多，也无法提高模型的效果，

对于此问题，要使用非线性变换函数，例如Sigmoid函数，

反向传播采用的求导方法–链式求导法则

对于 H = f · g，可以利用复合函数上每一步的偏导数进行累积，最后求出整体导数

反向传播算法的过程

其过程总结为，“正向传播”求损失函数，“反向传播”计算梯度，利用梯度寻求损失函数最小，为模型更新合适的权重，

• 通过前向传播计算出结果，计算预测结果的损失函数的值
• 通过链式求导法则，向前逐层计算某层输入权重参数对误差的影响，其表示为计算损失函数的值对其的偏导（此处编程可根据pytorch张量自动计算梯度）
• 以此为根据，考虑步长，更新权重的值
• 不断重新计算，更新权重，直到对误差满意

本案例使用的误差函数，

案例

输入值：x1, x2 = 0.5，0.3

输出值：y1, y2 =0.23， -0.07

激活函数：sigmoid

损失函数：MSE（均方误差）

初始权值：0.2 -0.4 0.5 0.6 0.1 -0.5 -0.3 0.8（w1~w8）

本案例用下面的代码进行反向传播和正向传播，更新权值，

import numpy as np


def sigmoid(z):
    a = 1 / (1 + np.exp(-z))
    return a


def forward_propagate(x1, x2, y1, y2, w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8):
    in_h1 = w1 * x1 + w3 * x2
    out_h1 = sigmoid(in_h1)
    in_h2 = w2 * x1 + w4 * x2
    out_h2 = sigmoid(in_h2)

    in_o1 = w5 * out_h1 + w7 * out_h2
    out_o1 = sigmoid(in_o1)
    in_o2 = w6 * out_h1 + w8 * out_h2
    out_o2 = sigmoid(in_o2)

    print("正向计算：o1 ,o2")
    print(round(out_o1, 5), round(out_o2, 5))

    error = (1 / 2) * (out_o1 - y1) ** 2 + (1 / 2) * (out_o2 - y2) ** 2

    print("损失函数：均方误差")
    print(round(error, 5))

    return out_o1, out_o2, out_h1, out_h2

# # 错误代码，未正确推导公式
# def back_propagate(out_o1, out_o2, out_h1, out_h2):
#     # 反向传播
#     d_o1 = out_o1 - y1
#     d_o2 = out_o2 - y2
#     # print(round(d_o1, 2), round(d_o2, 2))
# 
#     d_w5 = d_o1 * out_o1 * (1 - out_o1) * out_h1
#     d_w7 = d_o1 * out_o1 * (1 - out_o1) * out_h2
#     # print(round(d_w5, 2), round(d_w7, 2))
#     d_w6 = d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * out_h1
#     d_w8 = d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * out_h2
#     # print(round(d_w6, 2), round(d_w8, 2))
# 
#     d_w1 = (d_w5 + d_w6) * out_h1 * (1 - out_h1) * x1
#     d_w3 = (d_w5 + d_w6) * out_h1 * (1 - out_h1) * x2
#     # print(round(d_w1, 2), round(d_w3, 2))
# 
#     d_w2 = (d_w7 + d_w8) * out_h2 * (1 - out_h2) * x1
#     d_w4 = (d_w7 + d_w8) * out_h2 * (1 - out_h2) * x2
#     # print(round(d_w2, 2), round(d_w4, 2))
#     print("反向传播：误差传给每个权值")
#     print(round(d_w1, 5), round(d_w2, 5), round(d_w3, 5), round(d_w4, 5), round(d_w5, 5), round(d_w6, 5),
#           round(d_w7, 5), round(d_w8, 5))
# 
#     return d_w1, d_w2, d_w3, d_w4, d_w5, d_w6, d_w7, d_w8

# 正确函数
def back_propagate(out_o1, out_o2, out_h1, out_h2):
    # 反向传播
    d_o1 = out_o1 - y1
    d_o2 = out_o2 - y2

    d_w5 = d_o1 * out_o1 * (1 - out_o1) * out_h1
    d_w7 = d_o1 * out_o1 * (1 - out_o1) * out_h2
    d_w6 = d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * out_h1
    d_w8 = d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * out_h2

    d_w1 = (d_o1 * out_h1 * (1 - out_h1) * w5 + d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * w6) * out_h1 * (1 - out_h1) * x1
    d_w3 = (d_o1 * out_h1 * (1 - out_h1) * w5 + d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * w6) * out_h1 * (1 - out_h1) * x2
    d_w2 = (d_o1 * out_h1 * (1 - out_h1) * w7 + d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * w8) * out_h2 * (1 - out_h2) * x1
    d_w4 = (d_o1 * out_h1 * (1 - out_h1) * w7 + d_o2 * out_o2 * (1 - out_o2) * w8) * out_h2 * (1 - out_h2) * x2

    print("w的梯度:",round(d_w1, 2), round(d_w2, 2), round(d_w3, 2), round(d_w4, 2), round(d_w5, 2), round(d_w6, 2),
          round(d_w7, 2), round(d_w8, 2))

    return d_w1, d_w2, d_w3, d_w4, d_w5, d_w6, d_w7, d_w8

def update_w(w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8):
    # 步长
    step = 5
    w1 = w1 - step * d_w1
    w2 = w2 - step * d_w2
    w3 = w3 - step * d_w3
    w4 = w4 - step * d_w4
    w5 = w5 - step * d_w5
    w6 = w6 - step * d_w6
    w7 = w7 - step * d_w7
    w8 = w8 - step * d_w8
    return w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8


if __name__ == "__main__":
    w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8 = 0.2, -0.4, 0.5, 0.6, 0.1, -0.5, -0.3, 0.8
    x1, x2 = 0.5, 0.3
    y1, y2 = 0.23, -0.07
    print("=====输入值：x1, x2；真实输出值：y1, y2=====")
    print(x1, x2, y1, y2)
    print("=====更新前的权值=====")
    print(round(w1, 2), round(w2, 2), round(w3, 2), round(w4, 2), round(w5, 2), round(w6, 2), round(w7, 2),
          round(w8, 2))

    for i in range(1000):
        print("=====第" + str(i) + "轮=====")
        out_o1, out_o2, out_h1, out_h2 = forward_propagate(x1, x2, y1, y2, w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8)
        d_w1, d_w2, d_w3, d_w4, d_w5, d_w6, d_w7, d_w8 = back_propagate(out_o1, out_o2, out_h1, out_h2)
        w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8 = update_w(w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8)

    print("更新后的权值")
    print(round(w1, 2), round(w2, 2), round(w3, 2), round(w4, 2), round(w5, 2), round(w6, 2), round(w7, 2),
          round(w8, 2))

修改前，此处错误

【注意：此处未修改前的程序运行结果，该结果仅说明Loss的递减趋势】

从逐次运行结果可以看出，损失函数（均方误差）的数值在一次递减。

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5.10修改后

修正后的代码的运行结果，

第1000轮