讲完线性回归本来应该乘热打铁讲讲逻辑回归的，但是我觉得应该先讲讲感知机的原理，它不仅可以帮助理解分类和回归，也能帮助理解逻辑回归。

引言

       上一篇博客讲解了线性回归，我们知道线性模型可以表示为

python 感知机与门_感知机

，由于线性模型的输出y值是连续的数值类型，所以它用来做回归分析，那么线性模型能否用来做分类任务呢？当然可以！只需要将线性模型的输出y离散化就可以了。

感知机原理

        感知机就实现了用线性模型来完成分类任务，那么它是怎么实现这个功能的？通过一个sign()函数将线性模型的输出y进行处理，使得最终的输出变成[1,-1]，1和-1各代表一个类别，这样就相当于一个二分类的模型了

  • 数学模型

       感知机的数学模型也比较简单，可以表示为如下形式

                                                                  

python 感知机与门_python 感知机与门_02

注：sign()函数也可以理解为神经网络中的激活函数

  • 感知机思想

       我们知道感知机是为了实现分类任务而设计的，那么它是如何进行二分类任务的？它在特征空间（特征向量x的集合）寻找一个将正负样本完全正确分离的超平面，超平面的两侧即为分类的两个类别。下图直观的表现了感知机的思想

                                                                        

python 感知机与门_python 感知机与门_03

       超平面是指在n维空间中的一个n-1维平面，例如三维空间的超平面是一个二维平面，二维空间的超平面是一条直线。为什么是平面而不是曲面呢？因为在进入激活函数之前的模型是线性模型。

模型求解

        感知机的模型求解就是找到一个超平面将两个类别分离开，那么我们期望错误分类的样本到超平面的距离之和最小，最好小到为0，那么就没有错误分类的样本点了。

  • 点到直线距离

       错分样本点到超平面的距离可以根据数学中点到平面距离公式求得，如下

                                                             

python 感知机与门_python_04

       简化后的公式如下

                                                             

python 感知机与门_python 感知机与门_05

  • 损失函数

       根据感知机的数学公式可知，wx+b>0则y=1，wx+b<0则y=-1，那么y(wx+b)<0即可表示样本错分，因此只需通过y(wx+b)的正负就可以判断样本是否错分。我们的目标是期望错误分类的样本到超平面的距离之和最小，损失函数可以设计如下

                                               

python 感知机与门_python_06

注：损失函数设计时将距离公式中的

python 感知机与门_python 感知机与门_07

简化掉了，损失函数只计算错分的样本点，由于错分样本存在y(wx+b)<0，所以在前面添加一个负号，整个优化目标就变成最小化损失函数了，其实不加负号也可以，那么优化目标就是最大化损失函数

  • 最优化方法

       求解模型即需要最小化损失函数L(w,b)，这里主要采用梯度下降法来实现，因为损失函数定义的是只有误分类样本才能参与，所以不能使用批量梯度下降法(BGD)，只能使用随机梯度下降法(SGD)。

       这里梯度下降法的实现有两种形式，不同形式是为了应对不同的情况，下面会详细介绍

1）原始形式

python 感知机与门_机器学习_08

注：最小化损失函数时，更新梯度本来是w=w-梯度，但是损失函数前有负号，求导后的梯度前也有负号，最终就变成加号了

2）对偶形式

     当特征空间的维度很高(x的维度很高)时，原始形式会带来很大的计算量，为了减少计算量将原始形式进行改进得到了对偶形式

python 感知机与门_机器学习_09

python 感知机与门_机器学习_10

代码实现

def Perceptron(data, label, lr=0.001, iter=50):
    '''
    因为是随机梯度下降，所以是单样本进行梯度更新
    :param data: 样本 (m,n) m个样本，每个样本n维
    :param label: 标签  (m,1) m个样本的标签
    :param lr: 学习率
    :param iter: 迭代次数
    :return: w,b
    '''

    m = data.shape[0]
    n = data.shape[1]

    W = np.zeros((n, 1))  # 权重  (n,1)
    b = 0.0              # 偏置bias  (1)

    for k in range(iter):
        for i in range(m):
            x = np.array([data[i]])    # (1,n)
            y = label[i]
            d = -y*(np.dot(x, W) + b)
            if d >= 0:
                W = W + lr*y*np.transpose(x)  # (n,1)
                b = b + lr*y

    return W, b


def test(data, label, W, b):
    m = data.shape[0]

    errorcount = 0.0
    for i in range(m):
        x = data[i]
        y = label[i]
        result = -y * (np.dot(x, W) + b)
        if result >= 0:
            errorcount += 1

    accuracy = 1 - errorcount/m

    return accuracy


if __name__ == '__main__':
    #加载训练集和验证集
    traindata, trainlabel = loadData('../Mnist/mnist_train.csv')
    evaldata, evallabel = loadData('../Mnist/mnist_test.csv')

    W, b = Perceptron(traindata, trainlabel)

    accuracy = test(evaldata, evallabel, W, b)
    print('accuracy rate is:', accuracy)

       利用mnist数据进行训练(0-4为一类，5-9为另一类)，最终测试结果如下图

python 感知机与门_机器学习_11