java 数据结构 intlist java 数据结构 堆

堆

数据结构中的堆是一种特殊的二叉树，不同于 Java 内存模型中的堆。

堆必须符合以下两个条件：

1. 是一棵完全二叉树。
2. 任意一个节点的值都大于（或小于）左右子节点的值。

从第一点可以知道，堆适合用数组来存储。

第二点中，若父节点都大于等于左右子节点，则被称为大顶堆，反之则为小顶堆。

如图，为一个大顶堆，

注意：堆首先得符合完全二叉树的特点，否则不是堆。

堆的实现方案

【下面代码均以大顶堆为例】

堆的存储

完全二叉树采用数组存储最省空间，并且对 CPU 缓存较链表友好。

如图，采用数组表示并空出 0 号位置，节点i的父节点为2xi，左右子节点分别为i/2和i/2+1。

堆的操作——插入数据

在堆尾（即数组末尾）插入数据，会导致破坏堆的特性，如图：

因此需要将被破坏的堆重新调整为堆，这个过程被称为堆化，堆化的操作可以自上而下，也可以自下而上。

图中插入元素8后，打破了大顶堆的特性，将元素8向上与其父节点比较，判断是否交换，若交换，则继续向上比较，直到所有父子节点符合要求。

代码实现：

public class Heap {
    private int[] heapData; // 数组，从下标 1 开始存储数据
    private int n;  // 堆可以存储的最大数据个数
    private int count; // 堆中已经存储的数据个数

    public Heap(int capacity) {
        heapData = new int[capacity + 1];
        n = capacity;
        count = 0;
    }

    public void insert(int data) {
        if (count >= n) 
    	    return; // 堆满了
        heapData[++count] = data;
        int i = count;
        while (i/2 > 0 && a[i] > a[i/2]) { // 自下往上堆化
            swap(heapData, i, i/2); //交换下标为 i 和 i/2 的两个元素
            i = i/2;
        }
    }
}

堆的操作——删除堆顶元素

如图，删除堆顶元素后，如何堆化？

通过自上而下的堆化后，发现：虽然已经符合堆的大小规则，但是确不符合完全二叉树的定义了。

改进

删除堆顶元素后，将堆尾元素放到堆顶，再进行堆化操作。

代码实现：

public void removeMax() {
    if (count == 0)
        return -1; // 堆中没有数据
    heapData[1] = heapData[count];
    --count;
    heapify(heapData, count, 1);
}

private void heapify(int[] heapData, int n, int i) { 
    // 自上往下堆化
    while (true) {
        int maxPos = i;
        int left = i*2;
        int right = i*2+1;
        if (left <= n && a[i] < heapData[left])
            maxPos = left;
        if (right <= n && heapData[maxPos] < heapData[right])
            maxPos = right;
        if (maxPos == i)
            break;
        swap(heapData, i, maxPos);
        i = maxPos;
    }
}

堆化的时间复杂度分析

从前面的分析可知道，堆化的对象是一棵完全二叉树，并且自上而下或自下而上以高度为单位进行比较交换，因此堆化的时间复杂度与树的高度直接相关。

完全二叉树的高度为：$log_2 n$，因此，删除、插入元素时间复杂度为 O($logn$)。

堆的应用场景

堆排序

以大小为k的大顶堆为例，大顶堆的顶部元素为最大的值，我们将它与堆尾元素交换，再将前k-1个元素进行堆化，重复上述操作，直到堆中元素只剩 1 个为止，最后得到数据依次从小到大排列。

代码实现：

// n 表示数据的个数，数组 heapData 中的数据从下标 1 到 n 的位置。
public static void heapSort(int[] heapData, int n) {
  buildHeap(heapData, n);//建堆
  int k = n;
  while (k > 1) {
    swap(heapData, 1, k);
    --k;
    heapify(heapData, k, 1);
  }
}

由代码可知，堆排序是一种原地排序算法，因此，空间复杂度为O(1)。

建堆过程时间复杂度为O(n)，排序过程时间复杂度为O(nlog n)，因此堆排序的时间复杂度为O(nlog n)。

虽然堆排序的时间复杂度与快速排序一样，但是实际开发中依然还是采用快速排序比较多，为什么呢

1. 堆排序在访问数组中元素时，是跳着访问的，因此对 CPU 缓存没有快速排序友好。
2. 同样的数据，堆排序的交换两个元素的次数比快速排序多。

查找第K大(小)元素

静态数据集合
针对静态数据集合，我们可以通过数据集合建立大小为k的堆，若是大顶堆，则堆顶元素为第 k 小元素，否则为第 k 大元素。

动态数据集合
针对动态数据集合，我们可以一直维护一个大小为k的堆，增加元素时，将元素与堆顶元素比较，若为大顶堆，并且比对顶元素小，则替换，再堆化，得到新的第 k 小元素。

具体案例与代码：LeetCode：703. Kth Largest Element in a Stream

优先队列

队列：先进先出，后进后出。
优先队列：优先级高的先出队。

堆可以直接看做一个优先队列，入队，即往堆中添加元素，并且按照优先级堆化，而出队时，即堆顶元素为优先级最高的元素。

Java 中的 PriorityQueue 是优先级队列的一种实现。

求动态集合中位数

一组具有n个元素的有序数据中，若元素个数为偶数，则 $\frac{n}{2}$ 和 $\frac{n}{2}+1$ 位置的元素取一个作为中位数，若元素个数为偶数，则中位数在 $\frac{n}{2}+1$ 位置。

对于静态数据，中位数是固定的，只需要排序后直接获取中位数即可。即便排序比较耗时，但只需一次排序，所以总体时间复杂度还能接受。

但对于动态数据集合，由于数据是不断变化的，因此中位数也是不断变化的，若每次都需要重新排序来获取中位数，则时间复杂度比较高，因此，考虑采用同时维护两个堆来实现，大顶堆中存一半数据，小顶堆中存一半数据，并且小顶堆的数据都大于大顶堆的数据。

2. 元素个数为偶数时，取其中一个堆的堆顶元素即为中位数。



4. 元素个数为奇数时，大顶堆存 $\frac {n} {2}$ 个数，小顶堆存 $\frac {n} {2}+1$ 个数，小顶堆堆顶元素为中位数。（也可以设置为大顶堆存 $\frac {n} {2}+1$ 个数，则大顶堆堆顶元素为中位数）

当数据增加时，导致两个堆的元素个数比例失调，所以，应该如何进行调整呢？

可以从元素多的堆中，不停的将堆顶元素转移到另一个堆，直到两个堆元素比例恢复平衡，其中，堆化的操作时间复杂度为O(log n)，而取中位数的操作的时间复杂度为O(1)，因此整体时间复杂度为O(log n)。

扩展
在两个堆调整时，我们提到了两个堆的元素比例，在求中位数的场景中，比例为1:1。

由此可以想到，是否可以求其他比例下的数据呢，比如，我们要求 60 百分位的数（假设有 100 个数，并且正序，第 60 个数即为 60 百分位的数），则大小顶堆的比例为3:2。