r语言计算偏度系数和峰度系数 r语言偏度和峰度公式

1.峰度

1.1 峰度的定义

$n$个值的样本，其峰度的计算公式如下：$g_{2}=\frac{m_{4}}{m_{2}^{2}}=\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline x)^{4}}{(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline x)^{2})^{2}}-3$在改公式中，已经减去了正态分布的峰度3，这样正态分布的峰度即为0。另外，在一些统计软件中，常用的峰度计算公式如下：$Kurtosis=\frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)}\sum_{i=1}^{n}(\frac{x_{i}-\overline x}{StDev})^{4}-\frac{3(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}$

1.2 峰度的作用

  峰度用来表示数据的偏离程度，通常是作为一种判断正态性的指标。

2.偏度

2.1 偏度的定义

$Skewnes=\frac{\mu_{3}}{\sigma^{3}}=\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline x)^{3}}{\sigma^{3}}$

2.2 偏度的作用

• 对于正态分布，其偏度为0，两侧尾部长度对称。此时平均数=中位数=平均数。
• 若分布的偏度小于0，则说明该分布具有负偏离，即左偏态，此时数据位于均值左边的比位于右边的少，直观表现为左边的尾部相对于与右边的尾部要长，因为有少数变量值很小，使曲线左侧尾部拖得很长。分布左偏时众数>中位数>平均数。
• 若分布的偏度大于0，即右偏态，此时数据位于均值右边的比位于左边的少，直观表现为右边的尾部相对于与左边的尾部要长，因为有少数变量值很大，使曲线右侧尾部拖得很长。分布右偏时平均数>中位数>众数。