线性回归置信水平怎么计算 线性回归置信区间

线性回归介绍

1.简单介绍线性回归

线性回归就是利用的样本$D=(X_i,Y_j),i =1,2,3...N,X_i$是特征数据，可能是一个，也可能是多个，通过有监督的学习，学习到由$x$到$y$的映射$h$,利用该映射关系对未知的数据进行预估，因为$y$为连续值，所以是回归问题。

2. 线性回归的假设函数是什么形式？

线性回归的假设函数（$θ_0$表示截距项，$x_0=1$,方便矩阵表达）：

其中$θ,x$都是列向量

3. 线性回归的代价(损失)函数是什么形式？

4. 简述岭回归与Lasso回归以及使用场景。

• 目的：

• 解决线性回归出现的过拟合的请况。
• 解决在通过正规方程方法求解$θ$的过程中出现的$X^TX$不可逆的请况。

• 本质：

• 约束(限制)要优化的参数

这两种回归均通过在损失函数中引入正则化项来达到目的：

线性回归的损失函数：

岭回归

• 损失函数：

Lasso回归

• 损失函数：

本来Lasso回归与岭回归的解空间是全部区域，但通过正则化添加了一些约束，使得解空间变小了，甚至在个别正则化方式下，解变得稀疏了。

如图所示，这里的$w_1,w_2$都是模型的参数，要优化的目标参数，那个红色边框包含的区域，其实就是解空间，正如上面所说，这个时候，解空间“缩小了”，你只能在这个缩小了的空间中，寻找使得目标函数最小的$w_1,w_2$左边图的解空间是圆的，是由于采用了$L2$范数正则化项的缘故，右边的是个四边形，是由于采用了$L1$范数作为正则化项的缘故，大家可以在纸上画画，$L2$构成的区域一定是个圆，$L1$构成的区域一定是个四边形。

再看看那蓝色的圆圈，再次提醒大家，这个坐标轴和特征（数据）没关系，它完全是参数的坐标系，每一个圆圈上，可以取无数个$w_1,w_2$ ，这些$w_1,w_2$

蓝色的圈圈一圈又一圈，代表着参数$w_1,w_2$在不停的变化，并且是在解空间中进行变化（这点注意，图上面没有画出来，估计画出来就不好看了），直到脱离了解空间，也就得到了图上面的那个$w^*$这便是目标函数的最优参数。

对比一下左右两幅图的$w^*$,我们明显可以发现，右图的$w^*$
的$w_1$分量是0，有没有感受到一丝丝凉意？稀疏解诞生了！是的，这就是我们想要的稀疏解，我们想要的简单模型。$L1$比$L2$正则化更容易产生稀疏矩阵。

5. 线性回归要求因变量服从正态分布吗？

线性回归的假设前提是噪声服从正态分布，即因变量服从正态分布。但实际上难以达到，因变量服从正态分布时模型拟合效果更好。