python编程 判断点在直线上边还是下边

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判断方法思路汇总

引射线法

算法思路

原文链接

特殊情况

解决方案

Code

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判断方法思路汇总

（1）面积和判别法：判断目标点与多边形的每条边组成的三角形面积和是否等于该多边形，相等则在多边形内部。
（2）夹角和判别法：判断目标点与所有边的夹角和是否为360度，为360度则在多边形内部。
（3）引射线法：从目标点出发引一条射线，看这条射线和多边形所有边的交点数目。如果有奇数个交点，则说明在内部，如果有偶数个交点，则说明在外部。

具体做法：将测试点的Y坐标与多边形的每一个点进行比较，会得到一个测试点所在的行与多边形边的交点的列表。在下图的这个例子中有8条边与测试点所在的行相交，而有6条边没有相交。如果测试点的两边点的个数都是奇数个则该测试点在多边形内，否则在多边形外。在这个例子中测试点的左边有5个交点，右边有三个交点，它们都是奇数，所以点在多边形内。

算法图解：

引射线法

算法思路

原文链接

判断一个点是否在多边形内部 [1] 射线法思路、
判断一个点是否在多边形内部 [2] 射线法实现

比如说，我就随便涂了一个多边形和一个点，现在我要给出一种通用的方法来判断这个点是不是在多边形内部（别告诉我用肉眼观察……）。

首先想到的一个解法是从这个点做一条射线，计算它跟多边形边界的交点个数，如果交点个数为奇数，那么点在多边形内部，否则点在多边形外。

这个结论很简单，那它是怎么来的？下面就简单讲解一下。

首先，对于平面内任意闭合曲线，我们都可以直观地认为，曲线把平面分割成了内、外两部分，其中“内”就是我们所谓的多边形区域。

基于这一认识，对于平面内任意一条直线，我们可以得出下面这些结论：

直线穿越多边形边界时，有且只有两种情况：进入多边形或穿出多边形。

在不考虑非欧空间的情况下，直线不可能从内部再次进入多边形，或从外部再次穿出多边形，即连续两次穿越边界的情况必然成对。

直线可以无限延伸，而闭合曲线包围的区域是有限的，因此最后一次穿越多边形边界，一定是穿出多边形，到达外部。

现在回到我们最初的题目。假如我们从一个给定的点做射线，还可以得出下面两条结论：

如果点在多边形内部，射线第一次穿越边界一定是穿出多边形。

如果点在多边形外部，射线第一次穿越边界一定是进入多边形。

把上面这些结论综合起来，我们可以归纳出：

当射线穿越多边形边界的次数为偶数时，所有第偶数次（包括最后一次）穿越都是穿出，因此所有第奇数次（包括第一次）穿越为穿入，由此可推断点在多边形外部。 

当射线穿越多边形边界的次数为奇数时，所有第奇数次（包括第一次和最后一次）穿越都是穿出，由此可推断点在多边形内部。 

到这里，我们已经了解了这个解法的思路，大家可以试着自己写一个实现出来。

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特殊情况

不知道大家思考得怎么样，有没有遇到一些不好处理的特殊情况。今天就来讲讲射线法在实际应用中的一些问题和解决方案。

1点在多边形的边上

前面我们讲到，射线法的主要思路就是计算射线穿越多边形边界的次数。那么对于点在多边形的边上这种特殊情况，射线出发的这一次，是否应该算作穿越呢？

看了上面的图就会发现，不管算不算穿越，都会陷入两难的境地——同样落在多边形边上的点，可能会得到相反的结果。这显然是不正确的，因此对这种特殊情况需要特殊处理。

2点和多边形的顶点重合

这其实是第一种情况的一个特例。

3射线经过多边形顶点

射线刚好经过多边形顶点的时候，应该算一次还是两次穿越？这种情况比前两种复杂，也是实现中的难点，后面会讲解它的解决方案。

4射线刚好经过多边形的一条边

这是上一种情况的特例，也就是说，射线连续经过了多边形的两个相邻顶点。

解决方案

1判断点是否在线上的方法有很多，比较简单直接的就是计算点与两个多边形顶点的连线斜率是否相等，中学数学都学过。

2点和多边形顶点重合的情况更简单，直接比较点的坐标就行了。

3顶点穿越看似棘手，其实我们换一个角度，思路会大不相同。先来回答一个问题，射线穿越一条线段需要什么前提条件？没错，就是线段两个端点分别在射线两侧。只要想通这一点，顶点穿越就迎刃而解了。这样一来，我们只需要规定被射线穿越的点都算作其中一侧。

如上图，假如我们规定射线经过的点都属于射线以上的一侧，显然点D和发生顶点穿越的点C都位于射线Y的同一侧，所以射线Y其实并没有穿越CD这条边。而点C和点B则分别位于射线Y的两侧，所以射线Y和BC发生了穿越，由此我们可以断定点Y在多边形内。同理，射线X分别与AD和CD都发生了穿越，因此点X在多边形外，而射线Z没有和多边形发生穿越，点Z位于多边形外。

解决了第三点，这一点就毫无难度了。根据上面的假设，射线连续经过的两个顶点显然都位于射线以上的一侧，因此这种情况看作没有发生穿越就可以了。由于第三点的解决方案实际上已经覆盖到这种特例，因此不需要再做特别的处理。

Code

/**
   * @description 射线法判断点是否在多边形内部
   * @param {Object} p 待判断的点，格式：{ x: X坐标, y: Y坐标 }
   * @param {Array} poly 多边形顶点，数组成员的格式同 p
   * @return {String} 点 p 和多边形 poly 的几何关系
   */
  function rayCasting(p, poly) {
    var px = p.x,
        py = p.y,
        flag = false

    for(var i = 0, l = poly.length, j = l - 1; i < l; j = i, i++) {
      var sx = poly[i].x,
          sy = poly[i].y,
          tx = poly[j].x,
          ty = poly[j].y

      // 点与多边形顶点重合
      if((sx === px && sy === py) || (tx === px && ty === py)) {
        return 'on'
      }

      // 判断线段两端点是否在射线两侧
      if((sy < py && ty >= py) || (sy >= py && ty < py)) {
        // 线段上与射线 Y 坐标相同的点的 X 坐标
        var x = sx + (py - sy) * (tx - sx) / (ty - sy)

        // 点在多边形的边上
        if(x === px) {
          return 'on'
        }

        // 射线穿过多边形的边界
        if(x > px) {
          flag = !flag
        }
      }
    }

    // 射线穿过多边形边界的次数为奇数时点在多边形内
    return flag ? 'in' : 'out'
  }

 

新页面（new page）介绍了将样条曲线添加到此技术的内容。也可以访问多边形内最短路径页（shortest-path-through-polygonpage）！

图 1

图1显示了一个具有14条边的凹多边形。我们要判断红色点是否在多边形内。

解决方案是将测试点的Y坐标与多边形的每一个点进行比较，我们会得到一个测试点所在的行与多边形边的交点的列表。在这个例子中有8条边与测试点所在的行相交，而有6条边没有相交。如果测试点的两边点的个数都是奇数个则该测试点在多边形内，否则在多边形外。在这个例子中测试点的左边有5个交点，右边有三个交点，它们都是奇数，所以点在多边形内。

（注意：这个算法适用于顺时针和逆时针绘制的多边形。）

图 2

图2显示了多边形自交的情况。在这个例子中多边形的10条边有些互相交叉。这种情况很像汇编语言中的“异或”（XOR）。多边形中重叠的部分剔除。因此测试点在多边形的外面，我们从它的左右两边各有两个交点也可以看出来。

图 3

图3中多边形没有重叠，但是有两条边相交。这种情况下算法也没有问题，任然可以正常工作。

图 4

图4显示了当我们要测试的点所在的扫描行正好穿过多边形的一个顶点，因此扫描行与边a有一个交点，与边b也有一个交点，一共有两个角点，测试点的右边也是同样的情况，那按照我们的算法得到：测试点在多边形外的结论，但这显然是错误的！

要解决这种情况遇到的问题非常简单。边上的点是否与扫描行相交，我们要看边的两个端点是否是在扫描行的两侧，在扫描行上或上方的端点我们把它认为是同一种情况，那图4中边a的一个端点在扫描线的下方，另一个点在扫描线上或上方，所以边a与扫描线相交，而边b的两个端点都在扫描线上或上方，所以边b与扫描线不相交。

图 5

图5显示的多边形上一条边完全与扫描行重合的情况。根据图4中具体描述的边c的一个端点在扫描线的下方另一个端点在扫描线上或上方，所以边c与扫描线有一个交点，而边d的两个端点都在扫描线上或以上，所以无交点，边e也是两个端点都在扫描线上或以上，所以也没交点。

图 6

图6说明了一种特殊的情况（由加州州立理工大学的John David Munch指出）。多边形的一个角刚好落在扫描线上。其实这也没问题，上面的图中只有红色的边与扫描线相交产生交点，所以第一张图有1个交点第二张图有3个交点，交点的个数任然是奇数个，所以测试点在多边形内部。

多边形的边

如果测试点刚好在多边形的边上，则这种算法得到的结果是不确定的；例如结果可能是“在里面”或“不在里面”，这取决于很多不定的因素例如多边形在坐标系统中的方向。（不过这也没啥影响，因为多边形的边是无限小的，and points that fall right on the edge can go either way withouthurting the look of the polygon）

 

C代码例子
// Globals which should be set before calling this function://// int    polySides  =  how many cornersthe polygon has// float  polyX[]    =  horizontalcoordinates of corners// float  polyY[]    =  verticalcoordinates of corners// float  x,y       =  point to be tested//// (Globals are used in this example for purposes of speed.  Change as// desired.)////  Thefunction will return YES if the point x,y is inside the polygon, or//  NOif it is not.  If the point is exactly on the edge of the polygon,// then the function may return YES or NO.//// Note that division by zero is avoided because the division is protected//  bythe "if" clause which surrounds it.
bool pointInPolygon() {
  int   i,j=polySides-1 ;  bool  oddNodes=NO     ;
  for (i=0;i<polySides; i++) {    if(polyY[i]<y && polyY[j]>=y    ||  polyY[j]<y&& polyY[i]>=y) {      if(polyX[i]+(y-polyY[i])/(polyY[j]-polyY[i])*(polyX[j]-polyX[i])<x) {        oddNodes=!oddNodes;}}    j=i;}
  returnoddNodes; } 
下面是由Nathan Mercer提供的效力比较的的版本，蓝色的代码eliminatescalculations on sides that are entirely to the right of the test point.。虽然对某些多边形来说可能不是最快的方法，但是大多数情况下是最快的。
// Globals which should be set before calling this function://// int    polySides  =  how many cornersthe polygon has// float  polyX[]    =  horizontalcoordinates of corners// float  polyY[]    =  verticalcoordinates of corners// float  x,y       =  point to be tested//// (Globals are used in this example for purposes of speed.  Change as// desired.)////  Thefunction will return YES if the point x,y is inside the polygon, or//  NOif it is not.  If the point is exactly on the edge of the polygon,// then the function may return YES or NO.//// Note that division by zero is avoided because the division is protected//  bythe "if" clause which surrounds it.
bool pointInPolygon() {
  int   i,j=polySides-1 ;  bool  oddNodes=NO     ;
  for (i=0;i<polySides; i++) {    if((polyY[i]< y && polyY[j]>=y    ||   polyY[j]<y && polyY[i]>=y)    &&  (polyX[i]<=x || polyX[j]<=x)){      if(polyX[i]+(y-polyY[i])/(polyY[j]-polyY[i])*(polyX[j]-polyX[i])<x) {        oddNodes=!oddNodes;}}    j=i;}
  returnoddNodes; }这里是由提供了另一个高效的版本。内部的if语句消除或替代了异或操作。
// Globals which should be set before calling this function://// int    polySides  =  how many cornersthe polygon has// float  polyX[]    =  horizontalcoordinates of corners// float  polyY[]    =  verticalcoordinates of corners// float  x,y       =  point to be tested//// (Globals are used in this example for purposes of speed.  Change as// desired.)////  Thefunction will return YES if the point x,y is inside the polygon, or//  NOif it is not.  If the point is exactly on the edge of the polygon,// then the function may return YES or NO.//// Note that division by zero is avoided because the division is protected//  bythe "if" clause which surrounds it.
bool pointInPolygon() {
  int   i,j=polySides-1 ;  bool  oddNodes=NO     ;
  for (i=0;i<polySides; i++) {    if((polyY[i]< y && polyY[j]>=y    ||   polyY[j]<y && polyY[i]>=y)    && (polyX[i]<=x || polyX[j]<=x)) {      oddNodes^=(polyX[i]+(y-polyY[i])/(polyY[j]-polyY[i])*(polyX[j]-polyX[i])<x);}    j=i;}
  returnoddNodes; }

整型问题

假如你试图画一个像下图中蓝色的多边形，但是出来的却是有横线和竖线组成的边的多边形，如下图中的红色的多边形。出现这种情况可能是将多边形的顶点坐标变量定义成了整型而非浮点型，仔细地检查你的代码确保多边形的顶点是以浮点型定义且传递的。