一、误差与有效数字

(一)误差

1.误差基本概念:一个物理量的真实值与计算值之间的差值。

2.误差按来源可分为4类:模型误差;观测误差;截断误差舍入误差

①模型误差:数学模型与实际问题之间出现的误差。

②观测误差:数学模型中包含的若干参数通常是通过观测和实验得来的,不可避免带有误差。

③截断误差:数学模型的精确解与数值方法的近似解之间的误差。由于截断误差是方法固有的,所以也称为方 法误差。

舍入误差:原始数据和计算过程中的数据在计算机上都只能按照一定的舍入规则保留有限位,由此产生的误差称为舍入误差。

3.误差量化:绝对误差;相对误差;有效数字。

①绝对误差:

数据误差转换成权重 数据误差种类_迭代法


数据误差转换成权重 数据误差种类_插值_02


②相对误差

数据误差转换成权重 数据误差种类_插值_03

4.误差运算

数据误差转换成权重 数据误差种类_插值_04

(二)有效数字

1.定义

数据误差转换成权重 数据误差种类_线性方程组_05

(三)注意

1.设计数值计算方法应注重的原则:注重算法稳定性;减少运算量;避免相近数相减;避免绝对值小的数作分母。

2.数值计算中,影响算法优劣的主要因素有:算法的可靠性、稳定性、准确性、时间和空间复杂性。一个算法如果有可靠的理论分析,且计算复杂性好,这样的算法就是好算法。

复习题:

数据误差转换成权重 数据误差种类_线性方程组_06

数据误差转换成权重 数据误差种类_动态规划_07

数据误差转换成权重 数据误差种类_动态规划_08

二、插值法

(一)多项式插基本概念值

1.多项式插基本概念

数据误差转换成权重 数据误差种类_动态规划_09


2.插值的几何意义

数据误差转换成权重 数据误差种类_动态规划_10

3.插值余项

数据误差转换成权重 数据误差种类_线性方程组_11


数据误差转换成权重 数据误差种类_插值_12

(二)拉格朗日插值

1.基本概念

数据误差转换成权重 数据误差种类_数据误差转换成权重_13

2.插值余项

数据误差转换成权重 数据误差种类_动态规划_14

(三)Newton 插值

1.差商定义

数据误差转换成权重 数据误差种类_动态规划_15

2.差商计算

数据误差转换成权重 数据误差种类_数据误差转换成权重_16

3.差商性质

数据误差转换成权重 数据误差种类_数据误差转换成权重_17

4.Newton 插值多项式

数据误差转换成权重 数据误差种类_线性方程组_18

(四)Hermit 插值

1.定义

数据误差转换成权重 数据误差种类_插值_19

2.三次hermit插值

数据误差转换成权重 数据误差种类_线性方程组_20

(五)三次样条插值

1.概念

2.计算

数据误差转换成权重 数据误差种类_数据误差转换成权重_21

复习题:

数据误差转换成权重 数据误差种类_迭代法_22


数据误差转换成权重 数据误差种类_线性方程组_23


数据误差转换成权重 数据误差种类_数据误差转换成权重_24


数据误差转换成权重 数据误差种类_线性方程组_25


数据误差转换成权重 数据误差种类_插值_26

三、逼近与拟合

(一)三次最佳平方逼近

数据误差转换成权重 数据误差种类_数据误差转换成权重_27

(二)最小二乘法拟合

数据误差转换成权重 数据误差种类_插值_28

数据误差转换成权重 数据误差种类_动态规划_29

复习题:

数据误差转换成权重 数据误差种类_迭代法_30


数据误差转换成权重 数据误差种类_数据误差转换成权重_31


数据误差转换成权重 数据误差种类_迭代法_32

四、数值积分

(一)梯形公式与Simpson公式


数据误差转换成权重 数据误差种类_插值_33

2.代数精度法

数据误差转换成权重 数据误差种类_线性方程组_34

(二)插值型求积公式

数据误差转换成权重 数据误差种类_动态规划_35

(三)复化梯形公式与复化Simpson公式

数据误差转换成权重 数据误差种类_迭代法_36

(四)Gauss求积公式

数据误差转换成权重 数据误差种类_数据误差转换成权重_37

复习题:

数据误差转换成权重 数据误差种类_插值_38

数据误差转换成权重 数据误差种类_动态规划_39

数据误差转换成权重 数据误差种类_数据误差转换成权重_40

五、线性方程组直接求解

(一) 列主元Gauss消去法

数据误差转换成权重 数据误差种类_动态规划_41

数据误差转换成权重 数据误差种类_线性方程组_42

(二)LU分解法之Doolittle分解

数据误差转换成权重 数据误差种类_插值_43

(三)追赶法求解三对角线性方程组

形式:

数据误差转换成权重 数据误差种类_迭代法_44

数据误差转换成权重 数据误差种类_迭代法_45

复习题:

数据误差转换成权重 数据误差种类_数据误差转换成权重_46


数据误差转换成权重 数据误差种类_插值_47


数据误差转换成权重 数据误差种类_数据误差转换成权重_48


数据误差转换成权重 数据误差种类_迭代法_49


数据误差转换成权重 数据误差种类_迭代法_50


数据误差转换成权重 数据误差种类_数据误差转换成权重_51

六、线性方程组迭代求解

(一)向量范数与矩阵范数

数据误差转换成权重 数据误差种类_线性方程组_52

矩阵谱半径:

数据误差转换成权重 数据误差种类_线性方程组_53

(二)Jacobi迭代法

数据误差转换成权重 数据误差种类_动态规划_54

(三) Gauss-Seidel迭代法

数据误差转换成权重 数据误差种类_线性方程组_55

(四)迭代法的收敛性

数据误差转换成权重 数据误差种类_数据误差转换成权重_56

复习题:

数据误差转换成权重 数据误差种类_动态规划_57


数据误差转换成权重 数据误差种类_线性方程组_58


数据误差转换成权重 数据误差种类_动态规划_59


数据误差转换成权重 数据误差种类_迭代法_60


数据误差转换成权重 数据误差种类_迭代法_61

七、非线性方程求根

(一) 简单迭代法

数据误差转换成权重 数据误差种类_线性方程组_62

(二) Newton迭代法

数据误差转换成权重 数据误差种类_数据误差转换成权重_63

复习题:

数据误差转换成权重 数据误差种类_动态规划_64


数据误差转换成权重 数据误差种类_线性方程组_65


数据误差转换成权重 数据误差种类_迭代法_66


数据误差转换成权重 数据误差种类_线性方程组_67


数据误差转换成权重 数据误差种类_动态规划_68

模拟卷:

数据误差转换成权重 数据误差种类_迭代法_69

数据误差转换成权重 数据误差种类_插值_70


数据误差转换成权重 数据误差种类_插值_71


数据误差转换成权重 数据误差种类_迭代法_72


数据误差转换成权重 数据误差种类_迭代法_73


数据误差转换成权重 数据误差种类_动态规划_74


数据误差转换成权重 数据误差种类_线性方程组_75