一、误差与有效数字
(一)误差
1.误差基本概念:一个物理量的真实值与计算值之间的差值。
2.误差按来源可分为4类:模型误差;观测误差;截断误差;舍入误差。
①模型误差:数学模型与实际问题之间出现的误差。
②观测误差:数学模型中包含的若干参数通常是通过观测和实验得来的,不可避免带有误差。
③截断误差:数学模型的精确解与数值方法的近似解之间的误差。由于截断误差是方法固有的,所以也称为方 法误差。
④舍入误差:原始数据和计算过程中的数据在计算机上都只能按照一定的舍入规则保留有限位,由此产生的误差称为舍入误差。
3.误差量化:绝对误差;相对误差;有效数字。
①绝对误差:
②相对误差
4.误差运算
(二)有效数字
1.定义
(三)注意
1.设计数值计算方法应注重的原则:注重算法稳定性;减少运算量;避免相近数相减;避免绝对值小的数作分母。
2.数值计算中,影响算法优劣的主要因素有:算法的可靠性、稳定性、准确性、时间和空间复杂性。一个算法如果有可靠的理论分析,且计算复杂性好,这样的算法就是好算法。
复习题:
二、插值法
(一)多项式插基本概念值
1.多项式插基本概念
2.插值的几何意义
3.插值余项
(二)拉格朗日插值
1.基本概念
2.插值余项
(三)Newton 插值
1.差商定义
2.差商计算
3.差商性质
4.Newton 插值多项式
(四)Hermit 插值
1.定义
2.三次hermit插值
(五)三次样条插值
1.概念
2.计算
复习题:
三、逼近与拟合
(一)三次最佳平方逼近
(二)最小二乘法拟合
复习题:
四、数值积分
(一)梯形公式与Simpson公式
2.代数精度法
(二)插值型求积公式
(三)复化梯形公式与复化Simpson公式
(四)Gauss求积公式
复习题:
五、线性方程组直接求解
(一) 列主元Gauss消去法
(二)LU分解法之Doolittle分解
(三)追赶法求解三对角线性方程组
形式:
复习题:
六、线性方程组迭代求解
(一)向量范数与矩阵范数
矩阵谱半径:
(二)Jacobi迭代法
(三) Gauss-Seidel迭代法
(四)迭代法的收敛性
复习题:
七、非线性方程求根
(一) 简单迭代法
(二) Newton迭代法
复习题:
模拟卷: