前言
本文是我在学习卷积神经网络（Convolutional Neural Network）时的笔记，主要参考资料是Andrew Ng老师在UFLDL Tutorial中的相关章节。关于CNN的笔记在网络上很多了，本文不再详述各种细节，只对其中容易混淆和难以理解的算法细节做一个讲解，这些细节都是这两年与学生交流讨论中总结出来的。
文章小节安排如下：
1）全连接（Fully connected）与局部连接（Locally connected）
2）卷积（Convolution）
3）池化（Pooling）
4）参考文献
机器学习的内容丰富，涉及的数学知识很多，是需要脚踏实地一点一点琢磨的，从来没有捷径，也不存在速成的方法！无论任何一门学科，学习重要的是兴趣和毅力，以及平和的心态。
一、全连接（Fully connected）与局部连接（Locally connected）
1.1 multilayer neural network
UFLDL中讲解了两种神经网络，一种是Multilayer Neural Network，另一种是本文要重点讲解的Convolutional Neural Network。两种神经网络并非完全独立的，CNN可以看作是普通多层神经网络的高级进化版本，具有更强的特征学习能力，再各个任务上表现的都很好，雷霆万钧般的几乎碾压所有机器学习算法。但究其本质，CNN仍然属于神经网络的范畴，在前向传播和反向传播的计算方面，与普通多层神经网络其实也没有本质的差异。
在探索CNN之前，先回顾一下最普通的多层神经网络：
Multilayer Neural Network是一种 全连接的网络结构，也就是隐层中每个神经元都连接前一层的所有神经元。这种神经网络更多的是作为一种分类器，对输入的特征进行层层映射，最终在新的特征空间进行分类。
1.2 全连接与局部连接
通过下面一幅图，可以很好地对比 Fully Connected 和 Locally Connected：
上图左：
全连接网络。每个隐藏单元都连接图像的每一个像素点，这就是一种全连接方式。如果我们有1000x1000像素的图像，有1百万个隐层神经元，每个隐层单元都连接图像的每一个像素点，就有1000x1000x1000000=10^12个连接，也就是10^12个权值参数。
上图右：
局部连接网络。每个隐含单元仅仅连接输入图像的一小片相邻区域，那么这就是一种局部连接方式。每个隐层单元与图像中同位置单元附近10x10的窗口相连接，则1百万个隐层神经元就只有100w乘以100个连接，即10^8个参数。其参数个数比原来减少了四个数量级。
网络部分连通的思想，是受启发于生物学里面的视觉系统结构，视觉皮层的神经元就是局部接受信息的（即这些神经元只响应某些特定区域的刺激）。
利用这样一种局部连接结构，一方面降低了需要学习的参数数量，提高了前向传播和反向传播的计算速度；另一方面，这种结构所具有的局部感受能力也更符合人类视觉系统的认知方式。同时，卷积神经网络真正实现了端到端的学习，一个网络结构包括了特征提取和分类两部分，更适合实际业务中的算法部署。
1.3 卷积神经网络的结构
UFLDL给出的卷积神经网络的结构如下：
CodeMeals绘制的一个卷积神经网络结构如下：
这张图清晰的给出了CNN结构中，从输入到输出之间的卷积层、池化层和最后的全连接层，以及各个层之间的连接关系。
二、卷积（Convolution）
2.1 卷积操作与特征图
局部连接的具体实现方式，就是所谓卷积操作！但要注意的是，这不是真正的卷积操作，而是相关操作（也就是两个同型矩阵对应元素相乘将结果相加），只是因为可以使用卷积的方式进行计算，所以就使用了这样一个名字，在后面会通过图表和公式来解释这个问题。
请出最经典的卷积操作示意图：
UFLDL中的这张GIF图基本就解释了卷积神经网络中的核心计算 - 卷积操作。再次强调， 这里执行的其实是相关操作！而非真正的卷积（真正的卷积操作=将卷积核旋转180度后再与矩阵进行相关操作）！
Feature map的解释
卷积操作的本质其实是一次active，也就是对大尺寸图像中的patch逐个进行激活，得到的激活值组合起来就是卷积特征图（feature map）。
Feature map的尺寸
假定图像大小是 r * c，卷积核大小是 a * b，则最终得到的特征图尺寸：(r−a+1)×(c−b+1)
2.2 卷积核
卷积核（kernel）是一个或一组权重矩阵，每个权重矩阵是一个正方形，多个权重矩阵叠加构成一个卷积核（一个cube or volume）。
注意两点：
1）卷积核（kernel）的权重是需要学习的，CNN的训练就是在学习这些卷积核的权重矩阵；
2）卷积核（kernel）中的权重矩阵数量与输入层（例如图像层或Pooling层）的feature map数量可以是一致的，也可以是不一致的。
2.3 卷积神经网络前向传播中的卷积
卷积神经网络中前向传播中的卷积操作过程：
很多同学都会在卷积核这里感到困惑，搞不清楚卷积核的结构，以及卷积计算的过程。我们就说上面的图， Pooling Layer有3个feature map，Conv Layer有4个feature map，对应有4个卷积核，每个卷积核中有3个权重矩阵。在卷积操作时，卷积核中的3个权重矩阵分别对应Pooling Layer中的3个feature map，计算过程如图所示，不再赘述。
卷积核的结构是很灵活的，上面的图示是其中一种，即卷积核中的权重矩阵数量与输入层的feature map的数量一致，卷积时，卷积核中的权重矩阵与输入层的feature map对应执行卷积操作，再将输出的temp feature map叠加求和，进行激活（例如Sigmoid），生成一个feature map。另外，卷积核中也可以只有1个权重矩阵（或者说所有权重矩阵都相同），卷积时，该权重矩阵与输入层的所有feature map执行卷积操作，再将输出的temp feature map叠加求和，进行激活（例如Sigmoid），生成一个feature map。
2.4 卷积操作的公式
将上一幅图进行修改，来理解卷积操作的数学形式。
公式如下：
第l+1个卷积层第i个特征图a
i(l+1)计算：
注意这里使用的计算符号⊙，这表示相关操作，因为CNN中的卷积计算实质上是相关操作，各位一定要弄清楚！
2.5 卷积神经网络在学什么？
卷积神经网络的卷积核到底在学什么呢？其实可以看作是在学习一个局部模式检测器，因此对一副图像进行卷积操作的过程可以看作是：局部模式探测过程。这和Sift、Surf等局部特征提取过程其实是类似的。
如果对卷积核进行可视化，我们就可以观察到一个个局部模式。其可视化效果与sparse autoencoder练习中weights可视化的结果类似。
三、池化（Pooling）
3.1 池化操作
池化操作（Pooling）其实就是在计算一种统计特征，一般是取平均值或者取最大值，这些统计特征不仅具有低得多的维度，同时还会改善结果(不容易过拟合)。
请出经典的池化操作示意图（池化不重合区域 ）：
注意两点：
1） 从计算方式上来说，池化也是通过卷积操作完成，但池化卷积核的参数是固定的（至少在UFLDL里是这样），所以权重矩阵的参数不需要学习。
2） Pooling层的feature map与Conv层的feature map是一一对应的；
3.2 平均池化操作
Mean Pooling操作的示意，注意kernel size和stride的设置。
Max Pooling操作的示意：
max-pooling需要注意记录每次pooling时最大值的位置，在反向传播回传误差时需要使用。
关于max-pooling和mean-pooling的区别：
无论是max还是average都是在提取区域特征，均相当于一种抽象，抽象就是过滤掉了不必要的信息（当然也会损失信息细节），所以在抽象层次上可以进行更好的识别。
至于max与average效果是否一样，还是要看需要识别的图像细节特征情况，这个不一定的，不过据说差异不会超过2%。
不过仔细点说的话，评估特征提取的误差主要来自两个方面：
（1）邻域大小受限造成的估计值方差增大，average能减小这种误差。
（2）卷积层参数误差造成估计均值的偏移，max能减小这种误差。
也就是说，average对背景保留更好，max对纹理提取更好，如果是识别字体什么的，应该考虑max。
3.3 卷积神经网络前向传播中的池化
卷积神经网络中前向传播中的池化（Pooling）操作过程：
池化操作是比较好理解的，对应在CNN中的结构也很好理解，即，卷积层与池化层之间的feature map是一一对应的。
