二维坐标点的值插值 python

二维图形变换

通过学习【向量分析】和【图形变换】，可以设计出一些方法来描述我们所遇见的各种几何对象，并学会如何把这些几何方法转换成数字。

一、向量

从几何角度看，向量是具有长度和方向的实体，但是没有位置。而点是只有位置，没有长度和方向。

在几何中把向量看成从一个点到另一个点的位移。

1、向量的基本知识

（1）向量的表示

从P点到Q点的位移用向量v=(3,-2)表示。

v是从点P到点Q的向量，两个点的差是一个向量：v=Q-P

换个角度，可以说点Q是由点P平移向量v得到的，或者说v偏移P得到Q：Q=P+v

（2）向量的基本运算

向量的加(减)法可以采用“平行四边形法则”

（3）向量线性组合

m个向量v₁,v₂,...,v_m的线性组合具有如下形式的向量：

w=a₁v₁+a₂v₂+...+a_nv_n

1>仿射组合

线性组合的[系数的和等于1]，那么它就是仿射组合

a₁+a₂+...+a_m=1

2>向量的凸组合

a₁+a₂+...+a_m=1，[a_i>=0（i=1,2,...,m）]

2、向量的点积和叉积

【点积得到一个标量，叉积产生一个新的向量。】

（1）向量的点积

a=(a₁,a₂)  b=(b₁,b₂)

点积最重要的应用就是计算两个向量的夹角，或者两条直线的夹角：

可知，两个非零向量夹角与点积的关系：

（2）向量的叉积

两个向量的叉积是另一个三维向量。【叉积只对三维向量有意义】

最常用的属性是【它与原来的两个向量都正交】

【利用叉积求平面的法向量】

垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。

二、图形坐标系

坐标系是建立图形与数之间对应联系的参考系

1、坐标系的分类

从维度上看，可分为一维、二维、三维坐标系。

从坐标轴之间的空间关系来看，可分为直角坐标系、极坐标系、圆柱坐标系、球坐标系等。

在计算机图形学中， 从物体（场景）的建模，到在不同显示设备上显示、处理图形时同样使用一系列的坐标系

2、计算机图形学中坐标系的分类

（1）世界坐标系

描述对象的空间被称为世界坐标系，即场景中物体在实际世界中的坐标。

世界坐标系是一个【公共坐标系】，是现实中物体或场景的统一参照系。

计算机图形系统中涉及的其他坐标系都是参照它进行定义的。

（2）建模坐标系（局部坐标系）

每个物体（对象）有他自己的局部中心和坐标系。

建模坐标系【独立于】世界坐标系来定义物体的几何特性。

一旦定义了“局部”物体，就可以很容易的将“局部”

物体放入世界坐标系内，使它由局部上升为全局

（3）观察坐标系

观察坐标系主要用于【从观察者的角度】对整个世界坐标系内的对象进行重新定位和描述。

依据【观察窗口的方向和形状】在世界坐标系中定义的坐标系——>观察坐标系

要建立观察坐标系，需要已知三个要素：

      观察者的位置

      观察者的方向

      世界坐标系的上向量

观察坐标系通常以【视点的位置为原点】，由视点的位置和观察的方向即可确定【z轴】。

确定于x轴垂直的平面，世界坐标系的上向量在该平面上的投影即【y轴】，由z轴和y轴，通过【左手定则】即可确定【x轴】。

（4）设备坐标系

在多数情况下，对于每一个具体的显示设备，都有一个单独的坐标系统。

【注意：设备坐标是整数】

（5）规范化坐标系

规范化坐标系【独立】于设备，能容易的转变为设备坐标系，是一个【中间坐标系】。

为使图形软件能在不同的设备之间移植，采用规范化坐标，【坐标轴取值范围是0-1】

三、图形变换

1、图形变换的用途

（1）由一个基本的图案，经过变换组合成另一个复杂图形；

（2）用很少的物体组成一个场景；

（3）可以通过图形变换组合得到动画效果。

2、图形变换的基本原理

（1）图形变化了，但原图形的连边规则没有变化；

（2）图形的变化，是因为顶点位置的改变决定的。

变换图形就是要变换图形的【几何关系】，即【改变顶点的坐标】；同时，保持图形的【原拓扑关系不变】。

仿射变换是一种【二维】坐标到【二维】坐标之间的线性变换。

（1）“平直性”——>直线经过变换之后依然是直线

（2）“平行性”——>平行线依然是平行线，且直线上【点的位置顺序不变】。

称为二维仿射变换，其中坐标x',y'都是原始坐标x和y的线性函数，参数a,b,c,d,m和n是函数的关系。

四、齐次坐标

假如变换前的点坐标为(x,y)，变换后的点坐标为(x*,y*)，这个变换过程可以写成如下矩阵形式：

其中1和2是等价的，对于向量(x,y,1)，可以在几何意义上理解为是在【第三维为常数的】平面上的一个二维向量。

【这种用【三】维向量表示【二】维向量，或者一般而言，用一个n+1维的向量表示一个n维向量的方法称为齐次坐标表示法。】

n维向量的变换是在n+1维的空间进行的，变换后的n维结果是被反投回到感兴趣的特定的维空间内而得到的。

【为什么要采用齐次坐标】

   在笛卡尔坐标系内，向量(x,y)是位于z=0的平面上的点；而向量(x,y,1)是位于z=1的等高平面上的点。对于图形来说，没有实质性的差别，但是却给后面的矩阵运算提供了可行性和方便性。

   采用了齐次坐标表示法，就可以统一地把二维线性变换表示如下式所示的规格化形式：

对于一个图形，可以用【顶点表】来描述图形的【几何关系】，用【连边表】来描述图形的【拓扑关系】。所以【对图形的变换】，最后是【只要变换图形的顶点表】。