RADIOSS 侧面约束系统开发 侧向约束

车辆运动控制（6）考虑侧倾约束

• 1. 简介
• 2. 模型受力分析
• 3. 简化

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1. 简介

前两节介绍的车辆模型 未能考虑车辆的操纵稳定性，或者说只能体现车辆横摆稳定性
鉴于无人驾驶车辆的操纵稳定性需要综合考虑车辆的 横摆稳定性 和 侧倾稳定性
因此建立 横摆、侧滑和侧倾综合等效约束 的车辆动力学模型十分重要

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2. 模型受力分析

考虑车辆的侧倾运动，建立横摆、侧滑和侧倾综合等效约束的车辆动力学模型受力分析如图：

根据牛顿第二定律，分别得到车辆沿 $y$ 轴的受力平衡方程以及车辆绕 $z$ 轴和 $x$ 轴的转动力矩平衡方程：
$m \dot{v}_y = F_Y - mv_x\dot{\varphi}+mh_{CG}[\sin(\theta)\sin(\phi)\dot{\phi}\dot{\varphi}-\sin(\phi)\dot{\varphi}^2-\sin(\phi)\dot{\phi}^2- \\ \sin(\theta)\cos(\phi)\ddot{\varphi}-2\cos(\theta)\cos(\phi)\dot{\theta}\dot{\phi}+\cos(\phi)\ddot{\varphi}] \tag{32}$

$\ddot{\varphi}\{I_x\sin(\theta)^2+\cos(\theta)^2[I_y\sin(\phi)^2+I_z\cos(\phi)^2] \}= M_x -\\ h_{CG}[F_X\sin(\phi)+F_Y\sin(\theta)\cos(\phi)] \tag{33}$

$\ddot{\phi}[I_x\cos(\theta)^2+I_y\sin(\theta)^2\sin(\phi)^2+I_z\sin(\theta)^2\cos(\phi)^2]=-M_x+ \\ h_{CG}[F_Y\cos(\theta)\cos(\phi)+mg\sin(\phi)]+\dot{\theta}\dot{\varphi}[I_y\cos(\phi)^2+I_z\sin(\phi)^2]+\\ \dot{\varphi}\bigtriangleup I_{yz}[\dot{\varphi}\sin(\phi)\cos(\phi)\cos(\theta)+\dot{\phi}\sin(\phi)\cos(\phi)\sin(\theta)] \tag{34}$

符号	含义	符号	含义	符号	含义
$\ddot{\varphi}\{I_x\sin(\theta)^2+\cos(\theta)^2[I_y\sin(\phi)^2+I_z\cos(\phi)^2] \}= M_x -\\ h_{CG}[F_X\sin(\phi)+F_Y\sin(\theta)\cos(\phi)] \tag{33}$	车辆质量		车体坐标系下质心的纵向速度		车体坐标系下质心的侧向速度
	轮胎受到的横、纵向力在车体坐标系轴上的合力		车辆横摆角的变化量		车辆质心高度
	轮胎受到的横、纵向力在车体坐标系轴上的合力		车辆俯仰角		车辆侧倾角
	车辆绕轴、轴和轴的转动惯量		交叉转动惯量		前轮偏角
	侧倾阻力矩		车辆的侧倾刚度系数		车辆的侧倾阻尼系数
$F_X=F_{xf}\cos(\delta_f)-F_{yf}\sin(\delta_f)+F_{xr}-F_{dissp}$	车辆在纵向上受到阻力的合力	$F_X=F_{xf}\cos(\delta_f)-F_{yf}\sin(\delta_f)+F_{xr}-F_{dissp}$	车辆前、后轴上轮胎纵向力的合力	$F_X=F_{xf}\cos(\delta_f)-F_{yf}\sin(\delta_f)+F_{xr}-F_{dissp}$	车辆前、后轴上轮胎侧向力的合力

其中 $F_X=F_{xf}\cos(\delta_f)-F_{yf}\sin(\delta_f)+F_{xr}-F_{dissp}$，为轮胎受到的横、纵向力在车体坐标系$x$轴上的合力
$F_Y=F_{xf}\sin(\delta_f)+F_{yf}\cos(\delta_f)+F_{yr}$，为轮胎受到的横、纵向力在车体坐标系$y$轴上的合力
$\bigtriangleup I_{yz}=I_y-I_z$

此时，车体的侧倾角主要是由于车辆悬架系统变形所产生的
将车辆的悬架系统简化为一个弹簧-阻尼模型，则 $M_x=K_{\phi}\phi+D_{\phi}\dot{\phi}$ 为悬架系统产生的侧倾阻力矩
$K_{\phi}$ 和 $D_{\phi}$

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3. 简化

主要关注车辆的横摆运动与翻滚运动
因此对于车辆的俯仰运动，令 $\theta≈0$，$\dot{\theta}≈0$，则 式(32)~式(34) 可以简化为：
$m \dot{v}_y = F_Y - mv_x\dot{\varphi}+mh_{CG}[-\sin(\phi)\dot{\varphi}^2-\sin(\phi)\dot{\phi}^2+\cos(\phi)\ddot{\varphi}] \tag{35}$
$\ddot{\varphi}= \frac{M_x -F_Xh_{CG}\sin(\phi)}{I_y\sin(\phi)^2+I_z\cos(\phi)^2} \tag{36}$
$I_x\ddot{\phi}=h_{CG}[F_Y\cos(\phi)+mg\sin(\phi)]+\dot{\varphi}^2\bigtriangleup I_{yz}\sin(\phi)\cos(\phi)-M_x \tag{37}$

对车辆前轮偏角 $\delta_f$ 和 侧倾角 $\phi$ 等参数做小角度假设
忽略 $F_X$ 对车辆横摆特性的影响，并且假设 $\dot\phi^2≈0$，$\dot\varphi^2≈0$，$\bigtriangleup I_{yz}≈0$
则式(35) ~式(37)可简化为：
$\begin{cases} m \dot{v}_y = - mv_x\dot{\varphi}+mh_{CG}\ddot{\varphi}+(F_{yf}+F_{yr})\\ I_z\ddot{\varphi}= (l_fF_{yf}-l_rF_{yr})\\ I_x\ddot{\phi}=ma_{GY}h_{CG}+mgh_{CG}\phi-M_x \end{cases} \tag{38}$

其中 $F_Y\cos(\phi)=ma_{Gy}，a_{Gy}=\dot v_y+\dot \varphi v_x-h_{CG}\dot\phi^2$

式(38)即为横摆、侧滑和侧倾综合等效约束的车辆动力学微分方程

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