文章目录
- 一、光线追迹
- 二、离散空间的折射率及其梯度求解
- 1.折射率计算
- 2.折射率梯度计算
- 3.光线追迹方案
一、光线追迹
光线追迹的基本思想是：光线在折射率均匀的介质中是沿直线传播的，但在变折射率介质中光是沿曲线传播的。如果将变折射率介质按照一定规律（可以沿光轴方向或者沿光线方向）分成很多小段，并且认为光线只在各小段之间的边界上发生折射、而在各小段内部是沿直线传播的，如下图所示。本算法采用无限逼近的思想，逐步计算出光线的近似轨迹，计算的步长在计算中可以是确定的，也可以根据情况进行调整。当把变折射率介质分成足够多的小段时，就能得到光线的近似轨迹。
光线方程是光线在变折射率介质中的运动轨迹的基本方程。其描述为：
二、离散空间的折射率及其梯度求解
1.折射率计算
在离散空间内，已知各离散点上的折射率，需要求解其他空间任意点的折射率，通常采用插值法。本方案采用稳定性和精度均较好的反距离加权平均插值法。
在三维离散空间内，相邻八个节点构成一个单元，如图2所示。已知单元的八个定点的折射率为ni ( i = 1，2，…，8)，设点P到八个点(xi，yi，zi )的距离为di，求解单元内部任一点P的折射率 nP，采用反距离加权平均插值算法如下：
权重函数：
计算结果：
其中
2.折射率梯度计算
求解离散空间任一点的折射率梯度，需要先求解离散点本身的梯度值，然后再根据该点周围离散点的梯度，利用距离加权插值求解该点的梯度值。其中后者的插值方法在前面已经介绍，这里主要讨论离散点本身梯度的求解方法。
求解网格节点的梯度需要利用该节点周围其它多个点进行求解，常用的方法有Hom梯度算子、Barron梯度算子等，此处选择精度较高的Barron算子。Barron算子是对邻域离散折射率进行沿x、y、z方向的三次样条插值结果，如下图所示。
对于某点n(i，j，k)邻域四点的折射率沿x、y、z方向运用Barron算子进行插值，得到梯度值表达式为：
3.光线追迹方案
本方案采用泰勒级数展开法进行光线追迹。
在初始点r0的一个邻近区域内将位置矢量r展开成弧长s的Taylor级数：
其中，∆s 是所选的邻近区域半径，也即是追迹步长。dr/ds 表示光线的切向单位矢量，用 τ 表示；d2r/ds2 表示光线的曲率矢量（法向矢量），用 k 表示。
则有：k·s = 0。 再把 dr/ds 做4类似展开，得到：
用τ，k符号科表示为：
光线方程可写成：
即：
结合上几式可得：
最后给出具有二阶精度的泰勒级数展开数值计算方法公式：
在介质空间内的某一位置，求得折射率值n和折射率梯度分布 ∇n，再由初始光线的起始点r及该点处的光线方向 τ（即 dr/ds），可以求得k；最后通过上式求得邻近点的 r（位置）和 τ（光线轨迹方向），再计算得到该点的折射率 n 和梯度 ∇n。依次类推，按照小步长∆s，可以相继求得(r1，τ1 )，(r2，τ2 )，…，直到成像面上的点(rn，τn )，完成光线追迹。
