二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程

转载

mob64ca141139a2 2024-01-19 14:10:01

文章标签 二阶微分方程用Python 常微分方程初值折线 文章分类 Python 后端开发

介绍：

1.在 Matlab 中，用大写字母 D 表示导数，Dy 表示 y 关于自变量的一阶导数，D2y 表示 y 关于自变量的二阶导数，依此类推.函数 dsolve 用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为

X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…)

如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解

系统缺省的自变量为 t。

2.函数 dsolve 求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB 具有丰富的函数，将其统称为 solver，其一般格式为：

[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)

说明：(1)solver 为命令 ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb、ode15i 之一.

(2)odefun 是显示微分方程 y ' = f (t , y) 在积分区间 tspan = [t 0 , t f ] 上从 t0 到 t f 用初始条件 y0 求解.

(3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点 t 0 , t1 , t 2 , , t f 上的解，则令tspan = [t 0 , t1 , t 2 , t f ] (要求是单调的).

(4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的 ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器 solver，对于不同的 ODE 问题，采用不同的 solver

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_二阶微分方程用Python

3．在 matlab 命令窗口、程序或函数中创建局部函数时，可用内联函数 inline，inline 函数形式相当于编写 M 函数文件，但不需编写 M-文件就可以描述出某种数学关系.调用 inline 函数，只能由一个 matlab 表达式组成，并且只能返回一个变量，不允许[u,v]这种向量形式.因而，任何要求逻辑运算或乘法运算以求得最终结果的场合，都不能应用 inline 函数，inline 函数的一般形式为：

FunctionName=inline(‘函数内容’, ‘所有自变量列表’)

例如：（求解 F(x)=x^2*cos(a*x)-b ,a,b 是标量；x 是向量）在命令窗口输入:

Fofx=inline('x.^2.*cos(a.*x)-b','x','a','b');g = Fofx([pi/3 pi/3.5],4,1)

系统输出为：g=-1.5483 -1.7259注意：由于使用内联对象函数 inline 不需要另外建立 m 文件，所有使用比较方便，另外在使用 ode45 函数的时候，定义函数往往需要编辑一个 m 文件来单独定义，这样不便于管理文件，这里可以使用 inline 来定义函数。

例子：

一、ex(求精确解)：

1. 求解微分方程 y ' + 2xy = xe-x2

syms x y; y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x')

运行结果：

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_二阶微分方程用Python_02

2. 求微分方程 xy ' + y - e x = 0 在初始条件 y (1) = 2e 下的特解并画出解函数的图形.

syms x y; y=dsolve('x*Dy+y-exp(1)=0','y(1)=2*exp(1)','x');ezplot(y)

运行结果：

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_常微分方程_03

3. 求解微分方程组

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_二阶微分方程用Python_04

在初始条件x |t = 0 = 1, y |t =0 = 0 下的特解,并画出解函数的图像。

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_折线_05

syms x y t;

[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t');

simplify(x);

simplify(y);

ezplot(x,y,[0,1.3]);axis auto

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_折线_05

其中，simplify函数可以对符号表达式进行简化。以下是运行结果：

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_折线_07

二、ex(近似解):

1. 求解微分方程初值问题

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_折线_08

的数值解，求解范围为区间 [0,0.5] 。

fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y');
[x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1);
plot(x,y,'o-')

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_折线_09

2.求解微分方程

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_二阶微分方程用Python_10

，y(0) = 1,y(0) = 0 的解，并画出解的图像。通过变换，将二阶方程化为一阶方程组求解.令

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_初值_11

，则

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_常微分方程_12

编写 vdp.m 文件：

function fy=vdp(t,x)

fy=[x(2);7*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];

end

命令行输入：

y0=[1;0]
[t,x]=ode45('vdp',[0,40],y0);
y=x(:,1);dy=x(:,2);
plot(t,y,t,dy)

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_初值_13

在使用ode45函数的时候,定义函数往往需要编辑一个 .m文件来单独定义,这样不便于管理文件，因此编写 inline 函数：

fy=inline('[x(2);7*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)]','t','x')

运行：

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_折线_14

结果一致！

三、ex(用 Euler 折线法求解):

Euler 折线法求解的基本思想是将微分方程初值问题

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_常微分方程_15

化成一个代数(差分)方程，主要步骤是用差商

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_折线_16

替代微商

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_二阶微分方程用Python_17

，于是

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_二阶微分方程用Python_18

记

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_常微分方程_19

，从而

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_二阶微分方程用Python_20

，于是

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_常微分方程_21

1. 用 Euler 折线法求解微分方程初值问题

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_折线_22

的数值解（步长h取 0.4），求解范围为区间[0,2]

本题的差分方程为：

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_折线_23

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_折线_05

clear;
f=sym('y+2*x/y^2');a=0;b=2;
h=0.4;
n=(b-a)/h+1;
x=0;
y=1;
szj=[x,y];%数值解
for i=1:n-1
y=y+h*subs(f,{'x','y'},{x,y});%subs，替换函数
x=x+h;
szj=[szj;x,y];
end;
szj;
plot(szj(:,1),szj(:,2))

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_折线_05

说明：替换函数 subs 例如：输入 subs(a+b,a,4) 意思就是把 a 用 4 替换掉，返回 4+b，也可以替换多个变量，例如：subs(cos(a)+sin(b),{a,b},[sym('alpha'),2])分别用字符 alpha 替换 a 和 2 替换 b，返回 cos(alpha)+sin(2)。

偏微分方程解法

Matlab 提供了两种方法解决 PDE 问题，一是使用 pdepe 函数，它可以求解一般的 PDEs,具有较大的通用性，但只支持命令形式调用；二是使用 PDE 工具箱，可以求解特殊 PDE 问题，PDEtoll 有较大的局限性，比如只能求解二阶 PDE问题，并且不能解决片微分方程组，但是它提供了 GUI 界面，从复杂的编程中解脱出来，同时还可以通过 File—>Save As 直接生成 M 代码.

实例：

求解一个正方形区域上的特征值问题：

二阶微分方程用Python 二阶微分方程用MATLAB编程_初值_26