什么是证明【proof】?
证明的存在是超越数学的，那么证明的更高层次的概念是什么？它可能没有潜在的逻辑推导【logical deduction】，也可能没有假设【assumption】。
我认为一般来说，证据【proof】被认为是，跨多个领域【field】，作为一种确定【ascertaing】真理【truth】的方法。这里所说的确定【ascertaing】，是指建立【establishing】真理，验证【verifying】真理。
在社会中，甚至在科学中，有很多方法可以确定真理【ascertaing truth】:
- 实验【experimentation】：观察【observation】，就像看到那块粉笔会掉到地上,，它是物理学的基石，谁知道外面是否有重力？我们可以通过观察，然后我们得出结论，这就是事实
- 抽样【sampling】：反例【counter example
- 法官【judge】和陪审团【jury】
- 宗教【religion】：圣经
- 信仰【conviction】：我的程序没有bug
在数学中，数学证明是通过一系列公理【axioms】的逻辑推导【logical deduction】来对一个命题【proposition】的验证【verification】。
这有点拗口，这里有三个重要的组件：
- 命题【proposition】
- 公理【axioms】
- 逻辑推导【logical deduction】
命题
命题【proposition】是一种非真即假的陈述【statement】。
栗子1（真命题）
2 + 3 = 5
栗子2（假命题）
对所有自然数 {0,1,2,3,4...} n ，
是一个质数【prime number】 ∀ n ∈ N ，
是一个质数
- 是一个质数，也被称为谓词【predicate】，谓词【predicate】是一个命题【proposition】，其真值【truth】取决于变量的值。在这里，变量指的是 n。
- N {0,1,2,3,4...} 则被称为论域【universe of discourse】，这是我们谈论的所有事物的空间，在这里，我们只谈论自然数。
- ∀ 被称为量词【quantifier】
如果要证明该命题成立，那么我们就要证明谓词在所有自然数下均成立。
n |
| 质数 |
1 | 43 | true |
39 | 1601 | true |
40 | 1681 | false 41 * 41 |
41 | 1763 | false 41 * 43 |
栗子3
没有正数解
该命题由尤拉提出，218年后，一个名叫诺姆·埃尔基斯的聪明人终于否决了这个猜想。
a = 95800
b = 217519
c = 414560
d = 422481
所以，真命题应该是 ：
∃ a,b,c,d ∈ N+ ，
其中：
- ∃ 是量词【quantifier】，表示存在
- 是谓词
栗子4
∀ n ∈ Z ，
其中：
- Z 指的是 integer，{0,1,-1,2,-2 ...}
- => 符号是蕴含【implies】
我们现在来定义蕴含【implies】的意义：
当 p 是 false 或者 q 是true 时，则蕴含【implication】p => q 就是真。
下面是真值表【truth table】:
truth table
p | q | p => q |
T | T | T |
T | F | F |
F | T | T |
F | F | T |
false 蕴含一切都是 true，这看上去有点奇怪。
有一个著名的表达，如果猪能飞，我就当国王了。
这段陈述可以写作：pigs fly => i'm king，它是 true ，因为猪不会飞，不管我是不是国王。因为猪不会飞，尽管这是 false 的，但这句话的蕴含是 true 的。
栗子5
∀ n ∈ Z ，
该命题为假，例如 n = -3
truth table
p | q | p=>q | q=>q | p<=>q |
T | T | T | T | T |
T | F | F | T | F |
F | T | T | F | F |
F | F | T | T | T |
这里的关键是总是检查两种方式【way】。
这里为了证明 <=>【if and only if】，我们需要检查 => ，也需要检查 <=。
提问：每个句子【sentence】都是一个命题吗?
答案：No～ 比如"hello"，"how are you"
公理 axioms
好消息是，公理和命题其实是一回事~
唯一的区别是，公理【axioms】是我们假设【assumed】为真的命题【propositions】
没有证明【proof】能证实公理【axiom】是真的，你只是假设它是合理的～～
公理【axiom】一词来源于希腊，在希腊语中，这并不意味着真，而是意味着值得思考【think worthy】。
在数学中，有很多公理：
- if a = b，b = c，then a = c
公理在不同的上下文下可能是矛盾的～
在欧几里得几何中有这么一个中心公理
- 给定一条线L和一个不在L上的点P，有一条通过P平行于L的线
但是还有一个领域叫做球面几何，这里，你有一个与之相矛盾的公理：
- 给定一条线L和一个不在L上的点P，不存在一条通过P且平行于L的线
还有一个领域叫双曲几何【hyperbolic geometry】:
- 给定一条线L和一个不在L上的点P，有无穷多条经过p平行于L的直线
它们在各自的上下文中是有意义的～～
公理有两个指导原则，公理应该：
- consistent 一致的
- complete 完备的
Def：如果没有一个命题可以被证明即是真又是假，则该公理集是一致的【consistent】
Def：如果一组公理能被用来证明每个命题的真或假，那么它就被称为完备的【complete】
这是可取的，因为这意味着您可以解决所有问题，你可以证明任何事是真还是假。
现在你会认为得到一组满足这两个基本性质的公理集应该不会太难。你想要一个足够强大的公理集来证明一切的真假。
事实证明并非如此！！事实上，许多逻辑学家的职业生涯都在试图找到这样一组公理，它们是一致且完备的。
事实上，罗素和怀特黑德可能是最有名的两个，他们花费了整个生涯都在做这件事，但还是没得到。
然后有一天，这个叫库尔特·戈德尔【kurt Godel】的家伙出现了，在 1930 年代，他证明不可能存在任何一组既一致又完备的公理集。现在，这个发现摧毁了这个领域，这是一个巨大的发现。
这是一个了不起的结果，因为它说如果你想要一致性【consistent】，就会有你永远无法证明的真实事实【true fact】。
