集合的含义及其表示
(一)集合的有关概念：
1. 集合的含义：
一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。
2. 集合的分类：
(1)有限集：含有有限个元素的集合。
(2)无限集：若一个集合不是有限集，就称此集合为无限集。
空集：不含任何元素的集合，记作Φ。
3. 集合的表示方法
(1)列举法：把集合中的元素列举在一个大括号里：{…}
(2)描述法： 将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x| P(x)}的形式
4. 常用数集的字母表示
常用数集及记法
(1)自然数集： 记作N (2)正整数集： 记作
(3)整数集： 记作Z (4)有理数集： 记作Q
(5)实数集： 记作R
(二)集合之间的关系：
1. 子集：如果集合A的任一个元素都在集合B中则称集合A为集合B的子集，
记作：A 
特别的：
2. 真子集：如果
3. 集合相等 (三)集合之间的运算： 1. 交 交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集；记作：A∩B
2. 并 并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集；记作：A∪B
3. 补
补集：设A为S的子集，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作： 
函数概念与基本初等函数
一、函数的基本概念
(一)函数的概念
1. 函数定义
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数(function)，通常记为y＝f(x)，x
A.其中，所有的输入值x组成的集合叫做函数y＝f(x)的定义域(domain)。
注： 给定函数时要指名函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合。在函数定义中，所有能输入的值x组成的集合A叫做y＝f(x)的定义域，而对于A中的每一个x，都有一个输出值y 与之对应，我们将所有输出值y组成集合称为函数的值域。
映射：一般地，设A，B是两个集合，如果按某种对应法则f对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，这样的单值对应叫做从集合A到集合B的一个映射，记作：
注：函数是映射，但映射不是函数。
2. 函数的表示方法
(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法。
(2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法。这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式。
(3)图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法。
(二)函数的性质
1. 单调性
一般地，设函数y＝f(x)定义域为A，区间I 
如果对于区间I内的任意两个值 
判断函数单调性的方法：
①定义法，即比差法；②图象法；③复合函数单调性判断法则。
2. 奇偶性
(1)一般地，如果对于函数 
(2)如果对于函数 
说明：
2. 用定义判断函数奇偶性的步骤: ⑴ 先求定义域，看是否关于原点对称; ⑵ 再判断f(－x)＝ －f(x)或f(－x)＝f(x) 是否恒成立。 (三)函数的图象 函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工具作用。 图象作法：①描点法；②图象变换。 二、基本初等函数 1. 指数函数： 一般地，函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。指数函数的图象和性质：
a>1 | 0 | |
图象 |
|
|
性质 | (1)定义域：R | |
(2)值域：(0，+∞) | ||
(3)过点(0，1)，即x＝0时，y＝1 | ||
(4)在 R上是增函数 | (4)在R上是减函数 | |
2. 对数函数 一般地，函数y＝logax (a＞0，且 a≠1)叫做对数函数；它的定义域是(0，+∞)对数函数的图象与性质
a>1 | 0 | |
图象 |
|
|
性质 | 定义域：(0，+∞) | |
值域：R | ||
过点(1，0)，即当
时， | ||
时 |
时 | |
在(0，+∞)上是增函数 | 在(0，+∞)上是减函数 | |
3.
幂函数的定义
一般地，我们把形如 
幂函数
幂函数
(1)函数的图象都过(0，0)，(1，1)；
(2)在第一象限内，函数的图象随 
幂函数
(1)图象过(1，1)点。
(2)在第一象限内，函数的图象随 
三. 函数与方程
1. 方程的根与函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x，叫做函数y＝f(x)的零点.函数的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标.
2. 关系图
方程f(x)＝0有实数根
函数y＝f(x)的图象与x轴有交点
函数y＝f(x)有零点
3. 定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)<0，那么，函数y＝f(x)的图象在区间(a，b)内必然至少穿越x轴一次，即至少有一个零点，亦即存在c 
典型例题
例1. 已知集合A＝{1，3，a}， B＝{a2}，并且B是A的真子集，求实数a的取值。
分析：∵B是A的真子集， ∴a2∈A，
则有：
(1)a2＝1 
(2)a2＝3 
(3)a2＝a
综上：a＝－1， a＝
注意：根据集合元素的互异性，需分类讨论。 例2. (1)已知：M＝{x|x≥2}，P＝{x|x2－x－2＝0}，求M∪P和M∩P；
(2)已知：A＝{y|y＝3x2}， B＝{y|y＝－x2+4}， 求：A∩B，A∪B；
(3)已知集合A＝{－3， a2 ，1+a}， B＝{a－3， a2+1， 2a－1}， 其中a∈R，若A∩B＝{－3}，求A∪B。
解：(1)P＝{2，－1}，M∪P＝{x|x≥2或x＝－1}，M∩P＝{2}。
(2)∵A＝{y|y≥0}， B＝{y|y≤4}， A∩B＝{y|0≤y≤4}， A∪B＝R。
(3)∵A∩B＝{－3}，－3∈B，则有：
①a－3＝－3
②2a－1＝－3
小结：此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性。其中(1)易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点－1；而(2)中结合了二次函数的值域问题；(3)中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a的一个值时，又要检验是否符合题设条件。
例3. 利用单调函数的定义证明：函数 
证明：设 
则
由单调函数的定义可知，函数 
